Theorem ex-fl 28228

Description: Example for df-fl 13165. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10643	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11720	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11889	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11715	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10648	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 11812	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 5089	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 11743	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11714	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 11562	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 232	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10765	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 11814	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11804	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 5095	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 473	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 11517	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11703	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 5093	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 12015	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 13189	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 10949	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 10949	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 11186	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 232	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10765	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 10956	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10597	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 10946	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 10958	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 7168	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 11766	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 5089	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 5089	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10658	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 11193	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 232	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 12017	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 12020	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 13189	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 473	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  ℤcz 11984  ⌊cfl 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fl 13165

This theorem is referenced by:  ex-ceil  28229