MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 26462
Description: Example for df-fl 12410. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 9895 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 10941 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11128 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 10938 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 9899 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11042 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4598 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 10959 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 10937 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 10793 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 218 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10011 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11044 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11024 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4604 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 469 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 10747 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1415 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 219 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 10926 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4602 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 11240 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 12434 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 703 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 956 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10193 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10193 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 10421 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 218 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10011 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10200 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10190 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 703 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10202 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 6537 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2631 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 10982 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 4598 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 4598 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 9909 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 10428 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 218 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 11242 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 11245 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 12434 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 703 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 956 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 469 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  cz 11210  cfl 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fl 12410
This theorem is referenced by:  ex-ceil  26463
  Copyright terms: Public domain W3C validator