Theorem ex-fl 26462

Description: Example for df-fl 12410. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9895	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 10941	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11128	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 10938	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 9899	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 11042	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4598	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 10959	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 10937	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 10793	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 218	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10011	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 11044	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11024	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4604	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 469	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 10747	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1415	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 219	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 10926	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4602	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 11240	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 12434	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 703	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 956	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 10193	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 10193	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 10421	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 218	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10011	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 10200	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 9850	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 10190	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 703	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 10202	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 6537	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2631	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 10982	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 4598	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 4598	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 9909	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 10428	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 218	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 11242	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 11245	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 12434	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 703	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 956	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 469	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   class class class wbr 4577  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  ℂcc 9790  ℝcr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930   ≤ cle 9931   − cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  ℤcz 11210  ⌊cfl 12408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fl 12410

This theorem is referenced by:  ex-ceil  26463