Theorem ex-fl 27434

Description: Example for df-fl 12633. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10077	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3re 11132	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	rehalfcli 11319	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
4		2cn 11129	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5	4	mulid2i 10081	. . . . . 6 ⊢ (1 · 2) = 2
6		2lt3 11233	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 4706	. . . . 5 ⊢ (1 · 2) < 3
8		2pos 11150	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
9		2re 11128	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	1, 2, 9	ltmuldivi 10982	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
12	7, 11	mpbi 220	. . . 4 ⊢ 1 < (3 / 2)
13	1, 3, 12	ltleii 10198	. . 3 ⊢ 1 ≤ (3 / 2)
14		3lt4 11235	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
15		2t2e4 11215	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = 4
16	14, 15	breqtrri 4712	. . . . 5 ⊢ 3 < (2 · 2)
17	9, 8	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18		ltdivmul 10936	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
20	16, 19	mpbir 221	. . . 4 ⊢ (3 / 2) < 2
21		df-2 11117	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
22	20, 21	breqtri 4710	. . 3 ⊢ (3 / 2) < (1 + 1)
23		1z 11445	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		flbi 12657	. . . 4 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
25	3, 23, 24	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
26	13, 22, 25	mpbir2an 975	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
27	9	renegcli 10380	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℝ
28	3	renegcli 10380	. . . 4 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℝ
29	3, 9	ltnegi 10610	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
30	20, 29	mpbi 220	. . . 4 ⊢ -2 < -(3 / 2)
31	27, 28, 30	ltleii 10198	. . 3 ⊢ -2 ≤ -(3 / 2)
32	4	negcli 10387	. . . . . . 7 ⊢ -2 ∈ ℂ
33		ax-1cn 10032	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		negdi2 10377	. . . . . . 7 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
35	32, 33, 34	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ -(-2 + 1) = (--2 − 1)
36	4	negnegi 10389	. . . . . . 7 ⊢ --2 = 2
37	36	oveq1i 6700	. . . . . 6 ⊢ (--2 − 1) = (2 − 1)
38	35, 37	eqtri 2673	. . . . 5 ⊢ -(-2 + 1) = (2 − 1)
39		2m1e1 11173	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
40	39, 12	eqbrtri 4706	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) < (3 / 2)
41	38, 40	eqbrtri 4706	. . . 4 ⊢ -(-2 + 1) < (3 / 2)
42	27, 1	readdcli 10091	. . . . 5 ⊢ (-2 + 1) ∈ ℝ
43	42, 3	ltnegcon1i 10617	. . . 4 ⊢ (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
44	41, 43	mpbi 220	. . 3 ⊢ -(3 / 2) < (-2 + 1)
45		2z 11447	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
46		znegcl 11450	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -2 ∈ ℤ
48		flbi 12657	. . . 4 ⊢ ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
49	28, 47, 48	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
50	31, 44, 49	mpbir2an 975	. 2 ⊢ (⌊‘-(3 / 2)) = -2
51	26, 50	pm3.2i 470	1 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  ℤcz 11415  ⌊cfl 12631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fl 12633

This theorem is referenced by:  ex-ceil  27435