MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 27434
Description: Example for df-fl 12633. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 11132 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11319 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 11129 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 10081 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11233 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4706 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 11150 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 10982 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 220 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10198 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11235 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11215 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4712 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 10936 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1464 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 221 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 11117 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4710 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 11445 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 12657 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 708 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 975 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10380 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10380 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 10610 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 220 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10198 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10387 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10377 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 708 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10389 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 6700 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2673 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 11173 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 4706 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 4706 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 10091 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 10617 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 220 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 11447 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 11450 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 12657 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 708 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 975 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 470 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  cz 11415  cfl 12631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fl 12633
This theorem is referenced by:  ex-ceil  27435
  Copyright terms: Public domain W3C validator