MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-gcd 27546
Description: Example for df-gcd 15340. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 11302 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11514 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 11305 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 11514 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 15367 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 710 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 11215 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 11208 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 11283 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 10341 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2733 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 6776 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 11523 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 15358 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 710 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 11274 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2733 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 6776 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2746 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 15370 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 710 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 15371 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 15370 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 710 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 11207 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 10153 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 11227 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 10273 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 14156 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 710 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2754 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2754 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2746 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2746 1 (-6 gcd 9) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052  cle 10188  -cneg 10380  3c3 11184  6c6 11187  9c9 11190  cz 11490  abscabs 14094   gcd cgcd 15339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-gcd 15340
This theorem is referenced by:  ex-lcm  27547
  Copyright terms: Public domain W3C validator