Theorem ex-gcd 27162

Description: Example for df-gcd 15136. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11134	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 11346	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 11137	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 11346	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 15163	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 707	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 11047	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 11040	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 11115	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 10173	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2635	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 6616	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 11355	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 15154	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 11106	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2635	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 6616	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2648	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 15166	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 707	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 15167	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 15166	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 11039	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 9985	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 11059	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 10105	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 13965	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2656	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2656	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2648	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2648	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   ≤ cle 10020  -cneg 10212  3c3 11016  6c6 11019  9c9 11022  ℤcz 11322  abscabs 13903   gcd cgcd 15135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136

This theorem is referenced by:  ex-lcm  27163