Theorem ex-gcd 28230

Description: Example for df-gcd 15838. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11720	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12000	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 11729	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12000	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 15865	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 690	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 11722	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 11712	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 11791	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 10826	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2830	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7161	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12009	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 15856	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 11783	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2830	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 15868	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 15869	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 15868	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 11711	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 10637	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 11736	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 10757	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 14650	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2852	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2852	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2844	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2844	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   ≤ cle 10670  -cneg 10865  3c3 11687  6c6 11690  9c9 11693  ℤcz 11975  abscabs 14587   gcd cgcd 15837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838

This theorem is referenced by:  ex-lcm  28231