MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ind-dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ind-dvds 27206
Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ex-ind-dvds (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))

Proof of Theorem ex-ind-dvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6623 . . . 4 (𝑘 = 0 → (4↑𝑘) = (4↑0))
21oveq1d 6630 . . 3 (𝑘 = 0 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑0) + 2))
32breq2d 4635 . 2 (𝑘 = 0 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑0) + 2)))
4 oveq2 6623 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
54oveq1d 6630 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑛) + 2))
65breq2d 4635 . 2 (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)))
7 oveq2 6623 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
87oveq1d 6630 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
98breq2d 4635 . 2 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
10 oveq2 6623 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
1110oveq1d 6630 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑁) + 2))
1211breq2d 4635 . 2 (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2)))
13 3z 11370 . . . 4 3 ∈ ℤ
14 iddvds 14938 . . . 4 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 3 ∥ 3
16 4nn0 11271 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1716numexp0 15723 . . . . 5 (4↑0) = 1
1817oveq1i 6625 . . . 4 ((4↑0) + 2) = (1 + 2)
19 1p2e3 11112 . . . 4 (1 + 2) = 3
2018, 19eqtri 2643 . . 3 ((4↑0) + 2) = 3
2115, 20breqtrri 4650 . 2 3 ∥ ((4↑0) + 2)
2213a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∈ ℤ)
2316a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2523, 24nn0expcld 12987 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
2625nn0zd 11440 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
28 2z 11369 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 2 ∈ ℤ)
3027, 29zaddcld 11446 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
31 4z 11371 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℤ)
33 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2))
3422, 30, 32, 33dvdsmultr1d 14963 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 2) · 4))
35 dvdsmul1 14946 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
3613, 28, 35mp2an 707 . . . . . 6 3 ∥ (3 · 2)
3736a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (3 · 2))
3816a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
39 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4038, 39nn0expcld 12987 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
4140nn0zd 11440 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4241, 29zaddcld 11446 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
4342, 32zmulcld 11448 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (((4↑𝑛) + 2) · 4) ∈ ℤ)
4422, 29zmulcld 11448 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (3 · 2) ∈ ℤ)
4522, 34, 37, 43, 44dvds2subd 14960 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
4625nn0cnd 11313 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
47 2cnd 11053 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
48 4cn 11058 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
5046, 47, 49adddird 10025 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((4↑𝑛) + 2) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)))
5150oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
52 3cn 11055 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
53 2cn 11051 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
5452, 53mulcomi 10006 . . . . . . . 8 (3 · 2) = (2 · 3)
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · 2) = (2 · 3))
5655oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)))
5749, 24expp1d 12965 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
58 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
59 3p1e4 11113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
6052, 58, 59addcomli 10188 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 3) = 4
6160eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (1 + 3)
6261oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = ((1 + 3) − 3)
6358, 52pncan3oi 10257 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 3) − 3) = 1
6462, 63eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 (4 − 3) = 1
6564oveq2i 6626 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 − 3)) = (2 · 1)
6653, 48, 52subdii 10439 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 − 3)) = ((2 · 4) − (2 · 3))
67 2t1e2 11136 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
6865, 66, 673eqtr3ri 2652 . . . . . . . . 9 2 = ((2 · 4) − (2 · 3))
6968a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 = ((2 · 4) − (2 · 3)))
7057, 69oveq12d 6633 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
7146, 49mulcld 10020 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
7247, 49mulcld 10020 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 4) ∈ ℂ)
7352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
7447, 73mulcld 10020 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 3) ∈ ℂ)
7571, 72, 74addsubassd 10372 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
7670, 75eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
7751, 56, 763eqtr4rd 2666 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
7877adantr 481 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
7945, 78breqtrrd 4651 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
8079ex 450 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 2) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
813, 6, 9, 12, 21, 80nn0ind 11432 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  2c2 11030  3c3 11031  4c4 11032  0cn0 11252  cz 11337  cexp 12816  cdvds 14926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-seq 12758  df-exp 12817  df-dvds 14927
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator