MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-lcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-lcm 27186
Description: Example for df-lcm 15238. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-lcm (6 lcm 9) = 18

Proof of Theorem ex-lcm
StepHypRef Expression
1 6nn 11141 . . . . 5 6 ∈ ℕ
2 9nn 11144 . . . . 5 9 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 10996 . . . 4 (6 · 9) ∈ ℕ
43nncni 10982 . . 3 (6 · 9) ∈ ℂ
51nnzi 11353 . . . . 5 6 ∈ ℤ
62nnzi 11353 . . . . 5 9 ∈ ℤ
75, 6pm3.2i 471 . . . 4 (6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ)
8 lcmcl 15249 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11305 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (6 lcm 9) ∈ ℂ)
107, 9ax-mp 5 . . 3 (6 lcm 9) ∈ ℂ
11 neggcd 15179 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
127, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
1312eqcomi 2630 . . . . . 6 (6 gcd 9) = (-6 gcd 9)
14 ex-gcd 27185 . . . . . 6 (-6 gcd 9) = 3
1513, 14eqtri 2643 . . . . 5 (6 gcd 9) = 3
16 3cn 11047 . . . . 5 3 ∈ ℂ
1715, 16eqeltri 2694 . . . 4 (6 gcd 9) ∈ ℂ
18 3ne0 11067 . . . . 5 3 ≠ 0
1915, 18eqnetri 2860 . . . 4 (6 gcd 9) ≠ 0
2017, 19pm3.2i 471 . . 3 ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)
211, 2pm3.2i 471 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ)
22 lcmgcdnn 15259 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 9 ∈ ℕ) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2321, 22mp1i 13 . . . . . 6 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)) = (6 · 9))
2423eqcomd 2627 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9)))
25 divmul3 10642 . . . . 5 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9) ↔ (6 · 9) = ((6 lcm 9) · (6 gcd 9))))
2624, 25mpbird 247 . . . 4 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = (6 lcm 9))
2726eqcomd 2627 . . 3 (((6 · 9) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 9) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 9) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 9) ≠ 0)) → (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9)))
284, 10, 20, 27mp3an 1421 . 2 (6 lcm 9) = ((6 · 9) / (6 gcd 9))
2915oveq2i 6621 . 2 ((6 · 9) / (6 gcd 9)) = ((6 · 9) / 3)
30 6cn 11054 . . . 4 6 ∈ ℂ
31 9cn 11060 . . . 4 9 ∈ ℂ
3230, 31, 16, 18divassi 10733 . . 3 ((6 · 9) / 3) = (6 · (9 / 3))
33 3t3e9 11132 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2630 . . . . . 6 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 6620 . . . . 5 (9 / 3) = ((3 · 3) / 3)
3616, 16, 18divcan3i 10723 . . . . 5 ((3 · 3) / 3) = 3
3735, 36eqtri 2643 . . . 4 (9 / 3) = 3
3837oveq2i 6621 . . 3 (6 · (9 / 3)) = (6 · 3)
39 6t3e18 11594 . . 3 (6 · 3) = 18
4032, 38, 393eqtri 2647 . 2 ((6 · 9) / 3) = 18
4128, 29, 403eqtri 2647 1 (6 lcm 9) = 18
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  -cneg 10219   / cdiv 10636  cn 10972  3c3 11023  6c6 11026  8c8 11028  9c9 11029  cz 11329  cdc 11445   gcd cgcd 15151   lcm clcm 15236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-lcm 15238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator