Theorem ex-pss 26471

Description: Example for df-pss 3556. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 26470	. 2 ⊢ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
2		3ex 10946	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
3	2	tpid3 4250	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {1, 2, 3}
4		1re 9896	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt3 11046	. . . . . 6 ⊢ 1 < 3
6	4, 5	gtneii 10001	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 1
7		2re 10940	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt3 11045	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
9	7, 8	gtneii 10001	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
10	6, 9	nelpri 4149	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
11		nelne1 2878	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ {1, 2, 3} ∧ ¬ 3 ∈ {1, 2}) → {1, 2, 3} ≠ {1, 2})
12	3, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ {1, 2, 3} ≠ {1, 2}
13	12	necomi 2836	. 2 ⊢ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}
14		df-pss 3556	. 2 ⊢ ({1, 2} ⊊ {1, 2, 3} ↔ ({1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {1, 2, 3}))
15	1, 13, 14	mpbir2an 957	1 ⊢ {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {cpr 4127  {ctp 4129  1c1 9794  2c2 10920  3c3 10921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-2 10929  df-3 10930

This theorem is referenced by: (None)