MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-res 26456
Description: Example for df-res 5040. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2 df-pr 4127 . . . . 5 {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
31, 2syl6eq 2659 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
43reseq1d 5303 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5 resundir 5318 . . 3 (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
64, 5syl6eq 2659 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7 2re 10937 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
87elexi 3185 . . . . . 6 2 ∈ V
9 6re 10948 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
109elexi 3185 . . . . . 6 6 ∈ V
118, 10relsnop 5136 . . . . 5 Rel {⟨2, 6⟩}
12 dmsnopss 5511 . . . . . 6 dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13 snsspr2 4285 . . . . . . 7 {2} ⊆ {1, 2}
14 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
1513, 14syl5sseqr 3616 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
1612, 15syl5ss 3578 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17 relssres 5344 . . . . 5 ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
1811, 16, 17sylancr 693 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
20 1lt3 11043 . . . . . . . 8 1 < 3
2119, 20gtneii 10000 . . . . . . 7 3 ≠ 1
22 2lt3 11042 . . . . . . . 8 2 < 3
237, 22gtneii 10000 . . . . . . 7 3 ≠ 2
2421, 23nelpri 4148 . . . . . 6 ¬ 3 ∈ {1, 2}
2514eleq2d 2672 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
2624, 25mtbiri 315 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27 ressnop0 6303 . . . . 5 (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2918, 28uneq12d 3729 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30 un0 3918 . . 3 ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
3129, 30syl6eq 2659 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
326, 31eqtrd 2643 1 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  {cpr 4126  cop 4130  dom cdm 5028  cres 5030  Rel wrel 5033  cr 9791  1c1 9793  2c2 10917  3c3 10918  6c6 10921  9c9 10924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930
This theorem is referenced by:  ex-ima  26457
  Copyright terms: Public domain W3C validator