MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-xp 27625
Description: Example for df-xp 5272. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 4324 . . 3 {1, 5} = ({1} ∪ {5})
2 df-pr 4324 . . 3 {2, 7} = ({2} ∪ {7})
31, 2xpeq12i 5294 . 2 ({1, 5} × {2, 7}) = (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7}))
4 xpun 5333 . 2 (({1} ∪ {5}) × ({2} ∪ {7})) = ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})))
5 1ex 10247 . . . . . 6 1 ∈ V
6 2nn 11397 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
76elexi 3353 . . . . . 6 2 ∈ V
85, 7xpsn 6571 . . . . 5 ({1} × {2}) = {⟨1, 2⟩}
9 7nn 11402 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
109elexi 3353 . . . . . 6 7 ∈ V
115, 10xpsn 6571 . . . . 5 ({1} × {7}) = {⟨1, 7⟩}
128, 11uneq12i 3908 . . . 4 (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
13 df-pr 4324 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} = ({⟨1, 2⟩} ∪ {⟨1, 7⟩})
1412, 13eqtr4i 2785 . . 3 (({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩}
15 5nn 11400 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
1615elexi 3353 . . . . . 6 5 ∈ V
1716, 7xpsn 6571 . . . . 5 ({5} × {2}) = {⟨5, 2⟩}
1816, 10xpsn 6571 . . . . 5 ({5} × {7}) = {⟨5, 7⟩}
1917, 18uneq12i 3908 . . . 4 (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
20 df-pr 4324 . . . 4 {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩} = ({⟨5, 2⟩} ∪ {⟨5, 7⟩})
2119, 20eqtr4i 2785 . . 3 (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7})) = {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩}
2214, 21uneq12i 3908 . 2 ((({1} × {2}) ∪ ({1} × {7})) ∪ (({5} × {2}) ∪ ({5} × {7}))) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
233, 4, 223eqtri 2786 1 ({1, 5} × {2, 7}) = ({⟨1, 2⟩, ⟨1, 7⟩} ∪ {⟨5, 2⟩, ⟨5, 7⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  cun 3713  {csn 4321  {cpr 4323  cop 4327   × cxp 5264  1c1 10149  cn 11232  2c2 11282  5c5 11285  7c7 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-1cn 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator