MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exp0 12681
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 11221 . . 3 0 ∈ ℤ
2 expval 12679 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
31, 2mpan2 702 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4 eqid 2609 . . 3 0 = 0
54iftruei 4042 . 2 if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
63, 5syl6eq 2659 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  cz 11210  seqcseq 12618  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-neg 10120  df-z 11211  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by:  0exp0e1  12682  expp1  12684  expneg  12685  expcllem  12688  mulexp  12716  expadd  12719  expmul  12722  leexp1a  12736  exple1  12737  bernneq  12807  modexp  12816  exp0d  12819  faclbnd4lem1  12897  faclbnd4lem3  12899  faclbnd4lem4  12900  cjexp  13684  absexp  13838  binom  14347  incexclem  14353  incexc  14354  climcndslem1  14366  fprodconst  14493  fallfac0  14544  bpoly0  14566  ege2le3  14605  eft0val  14627  demoivreALT  14716  pwp1fsum  14898  bits0  14934  0bits  14945  bitsinv1  14948  sadcadd  14964  smumullem  14998  numexp0  15564  psgnunilem4  17686  psgn0fv0  17700  psgnsn  17709  psgnprfval1  17711  cnfldexp  19544  expmhm  19580  expcn  22414  iblcnlem1  23277  itgcnlem  23279  dvexp  23439  dvexp2  23440  plyconst  23683  0dgr  23722  0dgrb  23723  aaliou3lem2  23819  cxp0  24133  1cubr  24286  log2ublem3  24392  basellem2  24525  basellem5  24528  lgsquad2lem2  24827  rusgranumwlk  26250  oddpwdc  29549  subfacval2  30229  fwddifn0  31247  stoweidlem19  38709  fmtno0  39788  pwdif  39837  bits0ALTV  39926  0dig2nn0e  42199  0dig2nn0o  42200  nn0sumshdiglemA  42206  nn0sumshdiglemB  42207  nn0sumshdiglem1  42208  nn0sumshdiglem2  42209
  Copyright terms: Public domain W3C validator