Theorem exp0 13427

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0↑0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exp0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11986	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		expval 13425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))))
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4473	. 2 ⊢ if(0 = 0, 1, if(0 < 0, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘0), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-0)))) = 1
6	3, 5	syl6eq 2872	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4466  {csn 4560   class class class wbr 5058   × cxp 5547  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   < clt 10669  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975  seqcseq 13363  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-neg 10867  df-z 11976  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  0exp0e1  13428  expp1  13430  expneg  13431  expcllem  13434  mulexp  13462  expadd  13465  expmul  13468  exp0d  13498  leexp1a  13533  exple1  13534  bernneq  13584  modexp  13593  faclbnd4lem1  13647  faclbnd4lem3  13649  faclbnd4lem4  13650  cjexp  14503  absexp  14658  binom  15179  incexclem  15185  incexc  15186  climcndslem1  15198  pwdif  15217  fprodconst  15326  fallfac0  15376  bpoly0  15398  ege2le3  15437  eft0val  15459  demoivreALT  15548  pwp1fsum  15736  bits0  15771  0bits  15782  bitsinv1  15785  sadcadd  15801  smumullem  15835  numexp0  16406  psgnunilem4  18619  psgn0fv0  18633  psgnsn  18642  psgnprfval1  18644  cnfldexp  20572  expmhm  20608  expcn  23474  iblcnlem1  24382  itgcnlem  24384  dvexp  24544  dvexp2  24545  plyconst  24790  0dgr  24829  0dgrb  24830  aaliou3lem2  24926  cxp0  25247  1cubr  25414  log2ublem3  25520  basellem2  25653  basellem5  25656  lgsquad2lem2  25955  0dp2dp  30580  oddpwdc  31607  breprexp  31899  subfacval2  32429  fwddifn0  33620  stoweidlem19  42298  fmtno0  43696  bits0ALTV  43838  0dig2nn0e  44666  0dig2nn0o  44667  nn0sumshdiglemA  44673  nn0sumshdiglemB  44674  nn0sumshdiglem1  44675  nn0sumshdiglem2  44676