MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcan 12853
Description: Cancellation law for exponentiation. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expcan (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) = (𝐴𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem expcan
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
2 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑀))
3 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑁))
4 zssre 11328 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
5 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0red 9985 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
7 1red 9999 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
8 0lt1 10494 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
10 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
116, 7, 5, 9, 10lttrd 10142 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
125, 11elrpd 11813 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
13 rpexpcl 12819 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1412, 13sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ+)
1514rpred 11816 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴𝑥) ∈ ℝ)
16 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
18 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
19 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 1 < 𝐴)
20 ltexp2a 12852 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑥 < 𝑦)) → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦))
2120expr 642 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1326 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐴𝑥) < (𝐴𝑦)))
231, 2, 3, 4, 15, 22eqord1 10500 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2423ancom2s 843 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2524exp43 639 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁))))))
2625com24 95 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁))))))
27263imp1 1277 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝐴𝑀) = (𝐴𝑁)))
2827bicomd 213 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) = (𝐴𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  cz 11321  +crp 11776  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  expcand  12980  fmtnof1  40743
  Copyright terms: Public domain W3C validator