Theorem expcl2lem 13435

Description: Lemma for proving integer exponentiation closure laws. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹
expcl2lem.4	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
expcl2lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcl2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 11989	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)))
2		expcllem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
3		expcllem.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
4		expcllem.3	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ 𝐹
5	2, 3, 4	expcllem 13434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
6	5	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
7	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
8		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ 𝐹)
9	2, 8	sseldi 3965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		nnnn0 11898	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → -𝐵 ∈ ℕ0)
14		expneg2 13432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
16		difss 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ 𝐹
17		simpl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
18		eldifsn 4713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0))
19	17, 18	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}))
20	16, 2	sstri 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℂ
21	16	sseli 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ 𝐹)
22	16	sseli 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → 𝑦 ∈ 𝐹)
23	21, 22, 3	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
24		eldifsn 4713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25	2	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
27	24, 26	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
28		eldifsn 4713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0))
29	2	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
31	28, 30	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0}) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
32		mulne0 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
33	27, 31, 32	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
34		eldifsn 4713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0))
35	23, 33, 34	sylanbrc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
36		ax-1ne0 10600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 0
37		eldifsn 4713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
38	4, 36, 37	mpbir2an 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (𝐹 ∖ {0})
39	20, 35, 38	expcllem 13434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 ∖ {0}) ∧ -𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
40	19, 13, 39	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}))
41	16, 40	sseldi 3965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹)
42		eldifsn 4713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ (𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
43	40, 42	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
44	43	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝐵) ≠ 0)
45		neeq1 3078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐴↑-𝐵) ≠ 0))
46		oveq2 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐴↑-𝐵)))
47	46	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
48	45, 47	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐴↑-𝐵) → ((𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹) ↔ ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)))
49		expcl2lem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹)
50	49	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑥 ≠ 0 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐹))
51	48, 50	vtoclga 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑-𝐵) ∈ 𝐹 → ((𝐴↑-𝐵) ≠ 0 → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹))
52	41, 44, 51	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝐵)) ∈ 𝐹)
53	15, 52	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)
54	53	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
55	7, 54	jaod 855	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
56	1, 55	syl5bi 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹))
57	56	3impia 1113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝐵) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4561  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  rpexpcl  13442  reexpclz  13443  qexpclz  13444  m1expcl2  13445  expclzlem  13447  1exp  13452