MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcld 13048
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
expcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 expcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 expcl 12918 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cn0 11330  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  absexpz  14089  binomlem  14605  incexclem  14612  incexc  14613  incexc2  14614  geoserg  14642  pwm1geoser  14644  geolim  14645  geolim2  14646  geo2sum2  14649  geomulcvg  14651  bpolycl  14827  bpolydiflem  14829  efaddlem  14867  oexpneg  15116  pwp1fsum  15161  oddpwp1fsum  15162  cphipval  23088  dvexp3  23786  ply1termlem  24004  dgrcolem2  24075  dvply1  24084  aareccl  24126  aalioulem1  24132  taylfvallem1  24156  tayl0  24161  dvtaylp  24169  taylthlem2  24173  radcnvlem1  24212  pserulm  24221  logtayl  24451  cxpeq  24543  atantayl2  24710  atantayl3  24711  dfef2  24742  ftalem1  24844  ftalem2  24845  ftalem5  24848  basellem4  24855  logexprlim  24995  psgnfzto1st  29983  madjusmdetlem4  30024  oddpwdc  30544  eulerpartlemgs2  30570  signsplypnf  30755  signsply0  30756  breprexplemc  30838  breprexpnat  30840  bcprod  31750  knoppcnlem4  32611  knoppcnlem10  32617  knoppndvlem2  32629  knoppndvlem6  32633  knoppndvlem7  32634  knoppndvlem8  32635  knoppndvlem9  32636  knoppndvlem10  32637  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem17  32644  jm2.18  37872  jm2.22  37879  jm2.23  37880  itgpowd  38117  radcnvrat  38830  binomcxplemnn0  38865  binomcxplemnotnn0  38872  expcnfg  40141  fprodexp  40144  climexp  40155  dvsinexp  40443  dvxpaek  40473  dvnxpaek  40475  ibliccsinexp  40484  iblioosinexp  40486  itgsinexplem1  40487  itgsinexp  40488  iblsplit  40500  stoweidlem1  40536  stoweidlem7  40542  wallispi2lem2  40607  wallispi2  40608  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  stirlinglem8  40616  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  elaa2lem  40768  etransclem1  40770  etransclem4  40773  etransclem8  40777  etransclem18  40787  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem23  40792  etransclem35  40804  etransclem41  40810  etransclem46  40815  etransclem48  40817  pwdif  41826  pwm1geoserALT  41827  2pwp1prm  41828  lighneallem4  41852  oexpnegALTV  41913  altgsumbcALT  42456  dignn0flhalflem1  42734  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739
  Copyright terms: Public domain W3C validator