MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcllem 12808
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
expcllem.3 1 ∈ 𝐹
Assertion
Ref Expression
expcllem ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11239 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝐴𝑧) = (𝐴↑1))
32eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑1) ∈ 𝐹))
43imbi2d 330 . . . . 5 (𝑧 = 1 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)))
5 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝑤))
65eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹))
76imbi2d 330 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹)))
8 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤 + 1) → (𝐴𝑧) = (𝐴↑(𝑤 + 1)))
98eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹))
109imbi2d 330 . . . . 5 (𝑧 = (𝑤 + 1) → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
11 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧) = (𝐴𝐵))
1211eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
1312imbi2d 330 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑧) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)))
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9 𝐹 ⊆ ℂ
1514sseli 3584 . . . . . . . 8 (𝐴𝐹𝐴 ∈ ℂ)
16 exp1 12803 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ((𝐴↑1) ∈ 𝐹𝐴𝐹))
1918ibir 257 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑1) ∈ 𝐹)
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
2120caovcl 6782 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑤) ∈ 𝐹𝐴𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2221ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
2322adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹)
24 nnnn0 11244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ0)
25 expp1 12804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2615, 24, 25syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) = ((𝐴𝑤) · 𝐴))
2726eleq1d 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝐴𝑤) · 𝐴) ∈ 𝐹))
2923, 28mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐹𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)
3029exp31 629 . . . . . . 7 (𝐴𝐹 → (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3130com12 32 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → ((𝐴𝑤) ∈ 𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
3231a2d 29 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℕ → ((𝐴𝐹 → (𝐴𝑤) ∈ 𝐹) → (𝐴𝐹 → (𝐴↑(𝑤 + 1)) ∈ 𝐹)))
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 10983 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴𝐹 → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹))
3433impcom 446 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
35 oveq2 6613 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵) = (𝐴↑0))
36 exp0 12801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐹 → (𝐴↑0) = 1)
3835, 37sylan9eqr 2682 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) = 1)
39 expcllem.3 . . . 4 1 ∈ 𝐹
4038, 39syl6eqel 2712 . . 3 ((𝐴𝐹𝐵 = 0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
4134, 40jaodan 825 . 2 ((𝐴𝐹 ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
421, 41sylan2b 492 1 ((𝐴𝐹𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wss 3560  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cn 10965  0cn0 11237  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  expcl2lem  12809  nnexpcl  12810  nn0expcl  12811  zexpcl  12812  qexpcl  12813  reexpcl  12814  expcl  12815  expge0  12833  expge1  12834  lgsfcl2  24923
  Copyright terms: Public domain W3C validator