MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcnv 14304
Description: A sequence of powers of a complex number 𝐴 with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
expcnv.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
Assertion
Ref Expression
expcnv (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11463 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11149 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 1 ∈ ℤ)
3 nn0ex 11053 . . . . 5 0 ∈ V
43mptex 6267 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
6 0cnd 9788 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℂ)
7 nnnn0 11054 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 oveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
9 eqid 2514 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
10 ovex 6454 . . . . . . 7 (𝐴𝑘) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6075 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
127, 11syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
13 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1413oveq1d 6441 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴𝑘) = (0↑𝑘))
1512, 14sylan9eqr 2570 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (0↑𝑘))
16 0exp 12625 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
1716adantl 480 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0↑𝑘) = 0)
1815, 17eqtrd 2548 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = 0)
191, 2, 5, 6, 18climconst 13988 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
20 1zzd 11149 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
21 expcnv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
2221adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) < 1)
23 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
24 absrpcl 13735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2523, 24sylan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2625reclt1d 11627 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < (1 / (abs‘𝐴))))
2722, 26mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 1 < (1 / (abs‘𝐴)))
28 1re 9794 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
2925rpreccld 11624 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3029rpred 11614 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 difrp 11610 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3228, 30, 31sylancr 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 < (1 / (abs‘𝐴)) ↔ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+))
3327, 32mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+)
3433rpreccld 11624 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ+)
3534rpcnd 11616 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ)
36 divcnv 14293 . . . . 5 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
3735, 36syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) ⇝ 0)
38 nnex 10781 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3938mptex 6267 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
41 oveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
42 eqid 2514 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))
43 ovex 6454 . . . . . . 7 ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6075 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4544adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) = ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
4634rpred 11614 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ)
47 nndivre 10811 . . . . . 6 (((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4846, 47sylan 486 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) ∈ ℝ)
4945, 48eqeltrd 2592 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
50 oveq2 6434 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
51 eqid 2514 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
52 ovex 6454 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 6075 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5453adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
55 nnz 11140 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
56 rpexpcl 12609 . . . . . . 7 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5725, 55, 56syl2an 492 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ+)
5854, 57eqeltrd 2592 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ+)
5958rpred 11614 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
60 nnrp 11584 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
61 rpmulcl 11597 . . . . . . . 8 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6233, 60, 61syl2an 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ+)
6362rpred 11614 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
64 peano2re 9960 . . . . . . . . . 10 ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ∈ ℝ → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
66 rpexpcl 12609 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6729, 55, 66syl2an 492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ+)
6867rpred 11614 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) ∈ ℝ)
6963lep1d 10705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1))
7030adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
717adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7229rpge0d 11618 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
7372adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴)))
74 bernneq2 12721 . . . . . . . . . 10 (((1 / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / (abs‘𝐴))) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7570, 71, 73, 74syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) + 1) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7663, 65, 68, 69, 75letrd 9945 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘))
7725rpcnne0d 11623 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0))
78 exprec 12631 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
79783expa 1256 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8077, 55, 79syl2an 492 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8176, 80breqtrd 4507 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘) ≤ (1 / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8262, 57, 81lerec2d 11635 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8333rpcnne0d 11623 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0))
84 nncn 10783 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
85 nnne0 10808 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
8684, 85jca 552 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
87 recdiv2 10487 . . . . . . 7 (((((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 / (abs‘𝐴)) − 1) ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8883, 86, 87syl2an 492 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘) = (1 / (((1 / (abs‘𝐴)) − 1) · 𝑘)))
8982, 88breqtrrd 4509 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ≤ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑘))
9089, 54, 453brtr4d 4513 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((1 / (abs‘𝐴)) − 1)) / 𝑛))‘𝑘))
9158rpge0d 11618 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘))
921, 20, 37, 40, 49, 59, 90, 91climsqz2 14086 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0)
93 1zzd 11149 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
944a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
9539a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ∈ V)
967adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9796, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
98 expcl 12608 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9923, 7, 98syl2an 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10097, 99eqeltrd 2592 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101 absexp 13751 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10223, 7, 101syl2an 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
10397fveq2d 5991 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
10453adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
105102, 103, 1043eqtr4rd 2559 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘)))
1061, 93, 94, 95, 100, 105climabs0 14030 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0))
107106biimpar 500 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) ⇝ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10892, 107syldan 485 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10919, 108pm2.61dane 2773 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  Vcvv 3077   class class class wbr 4481  cmpt 4541  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696   < clt 9829  cle 9830  cmin 10017   / cdiv 10433  cn 10775  0cn0 11047  cz 11118  +crp 11574  cexp 12590  abscabs 13681  cli 13929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-pm 7623  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-sup 8107  df-inf 8108  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-rlim 13934
This theorem is referenced by:  explecnv  14305  geolim  14309  geo2lim  14314  iscmet3lem3  22760  mbfi1fseqlem6  23168  geomcau  32615  stoweidlem7  38803
  Copyright terms: Public domain W3C validator