MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expeq0 12837
Description: Positive integer exponentiation is 0 iff its mantissa is 0. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
expeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem expeq0
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑1))
21eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑1) = 0))
32bibi1d 333 . . . 4 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
43imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = 1 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
5 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
65eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
76bibi1d 333 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
87imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
9 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0))
1110bibi1d 333 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
1211imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
13 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1413eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
1514bibi1d 333 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
1615imbi2d 330 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑗) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
17 exp1 12813 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
1817eqeq1d 2623 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
19 nnnn0 11250 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 expp1 12814 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2120eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) · 𝐴) = 0))
22 expcl 12825 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
23 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2422, 23mul0ord 10628 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
2521, 24bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
2619, 25sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
27 biimp 205 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑘) = 0 → 𝐴 = 0))
28 idd 24 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0))
2927, 28jaod 395 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0))
30 olc 399 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0))
3129, 30impbid1 215 . . . . . . 7 (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → (((𝐴𝑘) = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0))
3226, 31sylan9bb 735 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3332exp31 629 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
3433com12 32 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
3534a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑘) = 0 ↔ 𝐴 = 0)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) = 0 ↔ 𝐴 = 0))))
364, 8, 12, 16, 18, 35nnind 10989 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
3736impcom 446 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cn 10971  0cn0 11243  cexp 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-seq 12749  df-exp 12808
This theorem is referenced by:  expne0  12838  0exp  12842  sqeq0  12874  expeq0d  12951  rpexp  15363
  Copyright terms: Public domain W3C validator