MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expge1 13091
Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem expge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝐴))
21elrab 3504 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴))
3 ssrab2 3828 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℝ
4 ax-resscn 10185 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3753 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ⊆ ℂ
6 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑥))
76elrab 3504 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 𝑦))
98elrab 3504 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦))
10 remulcl 10213 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1110ad2ant2r 800 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
12 1t1e1 11367 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
13 1re 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
14 0le1 10743 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
1513, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
1615jctl 565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
1715jctl 565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
18 lemul12a 11073 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
1916, 17, 18syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2019imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
2112, 20syl5eqbrr 4840 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (1 ≤ 𝑥 ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
2221an4s 904 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
23 breq2 4808 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 · 𝑦) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2423elrab 3504 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 · 𝑦)))
2511, 22, 24sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
267, 9, 25syl2anb 497 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
27 1le1 10847 . . . . . . 7 1 ≤ 1
28 breq2 4808 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ 1))
2928elrab 3504 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1))
3013, 27, 29mpbir2an 993 . . . . . 6 1 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧}
315, 26, 30expcllem 13065 . . . . 5 ((𝐴 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
322, 31sylanbr 491 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
33323impa 1101 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
34333com23 1121 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧})
35 breq2 4808 . . . 4 (𝑧 = (𝐴𝑁) → (1 ≤ 𝑧 ↔ 1 ≤ (𝐴𝑁)))
3635elrab 3504 . . 3 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝐴𝑁)))
3736simprbi 483 . 2 ((𝐴𝑁) ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ 1 ≤ 𝑧} → 1 ≤ (𝐴𝑁))
3834, 37syl 17 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  cle 10267  0cn0 11484  cexp 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  expgt1  13092  leexp2a  13110  expge1d  13221  hgt750lem  31038  tgoldbachgnn  31046
  Copyright terms: Public domain W3C validator