Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 39034
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 39036 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
32fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
43oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
54cbvmptv 4902 . . . . 5 (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
61, 5eqtri 2782 . . . 4 𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
76oveq2i 6824 . . 3 (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 4342 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 10218 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1210, 11syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
13 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1413biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1512, 14jaoi 393 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1716imp 444 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
19 mulcl 10212 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2018, 19sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21 efcl 15012 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2317, 22syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24 ovexd 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 10221 . . . . . . . 8 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
2717, 20syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2818adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29 efcl 15012 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31 1cnd 10248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ ℂ)
328dvmptid 23919 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 23926 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
3418mulid1d 10249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 4897 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦𝑆𝐾))
3633, 35eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆𝐾))
37 dvef 23942 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = exp
38 eff 15011 . . . . . . . . . . . 12 exp:ℂ⟶ℂ
39 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn ℂ
41 dffn5 6403 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4240, 41mpbi 220 . . . . . . . . . 10 exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4342oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4437, 43, 423eqtr3i 2790 . . . . . . . 8 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 23934 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48 mulcom 10214 . . . . . . . . 9 (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5049anabss5 892 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5150mpteq2dva 4896 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 23926 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56553anidm12 1530 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
5756anabss5 892 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58 mul12 10394 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
6059mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
627, 61syl5eq 2806 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63 ovexd 6843 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5320 . . . 4 (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾))
666a1i 11 . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7079 . 2 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2797 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘𝑓 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321  {cpr 4323  cmpt 4881   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  cc 10126  cr 10127  1c1 10129   · cmul 10133  expce 14991   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  expgrowth  39036
  Copyright terms: Public domain W3C validator