Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exple2lt6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exple2lt6 44340
Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
exple2lt6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6
StepHypRef Expression
1 nn0le2is012 12034 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
32, 2oveq12d 7163 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑁) = (0↑0))
4 0exp0e1 13422 . . . . 5 (0↑0) = 1
5 1lt6 11810 . . . . 5 1 < 6
64, 5eqbrtri 5078 . . . 4 (0↑0) < 6
73, 6eqbrtrdi 5096 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑁) < 6)
8 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
98, 8oveq12d 7163 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑁𝑁) = (1↑1))
10 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
11 exp1 13423 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1↑1) = 1
1312, 5eqbrtri 5078 . . . 4 (1↑1) < 6
149, 13eqbrtrdi 5096 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁𝑁) < 6)
15 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
1615, 15oveq12d 7163 . . . 4 (𝑁 = 2 → (𝑁𝑁) = (2↑2))
17 sq2 13548 . . . . 5 (2↑2) = 4
18 4lt6 11807 . . . . 5 4 < 6
1917, 18eqbrtri 5078 . . . 4 (2↑2) < 6
2016, 19eqbrtrdi 5096 . . 3 (𝑁 = 2 → (𝑁𝑁) < 6)
217, 14, 203jaoi 1419 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁𝑁) < 6)
221, 21syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁𝑁) < 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  2c2 11680  4c4 11682  6c6 11684  0cn0 11885  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  pgrple2abl  44341
  Copyright terms: Public domain W3C validator