Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exple2lt6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exple2lt6 41433
 Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
exple2lt6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁𝑁) < 6)

Proof of Theorem exple2lt6
StepHypRef Expression
1 nn0le2is012 11385 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
32, 2oveq12d 6622 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑁) = (0↑0))
4 0exp0e1 12805 . . . . 5 (0↑0) = 1
5 1lt6 11152 . . . . 5 1 < 6
64, 5eqbrtri 4634 . . . 4 (0↑0) < 6
73, 6syl6eqbr 4652 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑁) < 6)
8 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 1 → 𝑁 = 1)
98, 8oveq12d 6622 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑁𝑁) = (1↑1))
10 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
11 exp1 12806 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (1↑1) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1↑1) = 1
1312, 5eqbrtri 4634 . . . 4 (1↑1) < 6
149, 13syl6eqbr 4652 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁𝑁) < 6)
15 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 2 → 𝑁 = 2)
1615, 15oveq12d 6622 . . . 4 (𝑁 = 2 → (𝑁𝑁) = (2↑2))
17 sq2 12900 . . . . 5 (2↑2) = 4
18 4lt6 11149 . . . . 5 4 < 6
1917, 18eqbrtri 4634 . . . 4 (2↑2) < 6
2016, 19syl6eqbr 4652 . . 3 (𝑁 = 2 → (𝑁𝑁) < 6)
217, 14, 203jaoi 1388 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) → (𝑁𝑁) < 6)
221, 21syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 2) → (𝑁𝑁) < 6)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018   ≤ cle 10019  2c2 11014  4c4 11016  6c6 11018  ℕ0cn0 11236  ↑cexp 12800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801 This theorem is referenced by:  pgrple2abl  41434
 Copyright terms: Public domain W3C validator