MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmhm 19906
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1 𝑁 = (ℂflds0)
expmhm.2 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
expmhm (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 12961 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
2 eqid 2692 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))
31, 2fmptd 6468 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ)
4 expadd 12985 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
543expb 1113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
6 nn0addcl 11409 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
76adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0)
8 oveq2 6741 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
9 ovex 6761 . . . . . 6 (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)) ∈ V
108, 2, 9fvmpt 6364 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
117, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (𝐴↑(𝑦 + 𝑧)))
12 oveq2 6741 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
13 ovex 6761 . . . . . . 7 (𝐴𝑦) ∈ V
1412, 2, 13fvmpt 6364 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) = (𝐴𝑦))
15 oveq2 6741 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
16 ovex 6761 . . . . . . 7 (𝐴𝑧) ∈ V
1715, 2, 16fvmpt 6364 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧) = (𝐴𝑧))
1814, 17oveqan12d 6752 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
1918adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) = ((𝐴𝑦) · (𝐴𝑧)))
205, 11, 193eqtr4d 2736 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
2120ralrimivva 3041 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)))
22 0nn0 11388 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 oveq2 6741 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
24 ovex 6761 . . . . 5 (𝐴↑0) ∈ V
2523, 2, 24fvmpt 6364 . . . 4 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0))
2622, 25ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = (𝐴↑0)
27 exp0 12947 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2826, 27syl5eq 2738 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)
29 nn0subm 19892 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
30 expmhm.1 . . . . . 6 𝑁 = (ℂflds0)
3130submmnd 17444 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
3229, 31ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ Mnd
33 cnring 19859 . . . . 5 fld ∈ Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
3534ringmgp 18642 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3633, 35ax-mp 5 . . . 4 𝑀 ∈ Mnd
3732, 36pm3.2i 470 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd)
3830submbas 17445 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → ℕ0 = (Base‘𝑁))
3929, 38ax-mp 5 . . . 4 0 = (Base‘𝑁)
40 cnfldbas 19841 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
4134, 40mgpbas 18584 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑀)
42 cnfldadd 19842 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
4330, 42ressplusg 16084 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → + = (+g𝑁))
4429, 43ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝑁)
45 cnfldmul 19843 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
4634, 45mgpplusg 18582 . . . 4 · = (+g𝑀)
47 cnfld0 19861 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
4830, 47subm0 17446 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
4929, 48ax-mp 5 . . . 4 0 = (0g𝑁)
50 cnfld1 19862 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
5134, 50ringidval 18592 . . . 4 1 = (0g𝑀)
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 17427 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1)))
5337, 52mpbiran 991 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)):ℕ0⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℕ0 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘(𝑦 + 𝑧)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑦) · ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥))‘0) = 1))
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1319 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑥)) ∈ (𝑁 MndHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1564  wcel 2071  wral 2982  cmpt 4805  wf 5965  cfv 5969  (class class class)co 6733  cc 10015  0cc0 10017  1c1 10018   + caddc 10020   · cmul 10022  0cn0 11373  cexp 12943  Basecbs 15948  s cress 15949  +gcplusg 16032  0gc0g 16191  Mndcmnd 17384   MndHom cmhm 17423  SubMndcsubmnd 17424  mulGrpcmgp 18578  Ringcrg 18636  fldccnfld 19837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-addf 10096  ax-mulf 10097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-oadd 7652  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-4 11162  df-5 11163  df-6 11164  df-7 11165  df-8 11166  df-9 11167  df-n0 11374  df-z 11459  df-dec 11575  df-uz 11769  df-fz 12409  df-seq 12885  df-exp 12944  df-struct 15950  df-ndx 15951  df-slot 15952  df-base 15954  df-sets 15955  df-ress 15956  df-plusg 16045  df-mulr 16046  df-starv 16047  df-tset 16051  df-ple 16052  df-ds 16055  df-unif 16056  df-0g 16193  df-mgm 17332  df-sgrp 17374  df-mnd 17385  df-mhm 17425  df-submnd 17426  df-grp 17515  df-cmn 18284  df-mgp 18579  df-ur 18591  df-ring 18638  df-cring 18639  df-cnfld 19838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator