MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expneg 13054
Description: Value of a complex number raised to a negative integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 11478 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nnne0 11237 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
32adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
4 nncn 11212 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
65negeq0d 10568 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
76necon3abid 2960 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
83, 7mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ -𝑁 = 0)
98iffalsed 4233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))))
10 nnnn0 11483 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12 nn0nlt0 11503 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑁 < 0)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 𝑁 < 0)
1411nn0red 11536 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1514lt0neg1d 10781 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 < 0 ↔ 0 < -𝑁))
1613, 15mtbid 313 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ 0 < -𝑁)
1716iffalsed 4233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))
185negnegd 10567 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1918fveq2d 6348 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
2019oveq2d 6821 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
219, 17, 203eqtrd 2790 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
22 nnnegz 11564 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
23 expval 13048 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
2422, 23sylan2 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = if(-𝑁 = 0, 1, if(0 < -𝑁, (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘-𝑁), (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘--𝑁)))))
25 expnnval 13049 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
2625oveq2d 6821 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁)))
2721, 24, 263eqtr4d 2796 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
28 1div1e1 10901 . . . . 5 (1 / 1) = 1
2928eqcomi 2761 . . . 4 1 = (1 / 1)
30 negeq 10457 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
31 neg0 10511 . . . . . . 7 -0 = 0
3230, 31syl6eq 2802 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
3332oveq2d 6821 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝐴↑-𝑁) = (𝐴↑0))
34 exp0 13050 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3533, 34sylan9eqr 2808 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = 1)
36 oveq2 6813 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
3736, 34sylan9eqr 2808 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
3837oveq2d 6821 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (1 / (𝐴𝑁)) = (1 / 1))
3929, 35, 383eqtr4a 2812 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
4027, 39jaodan 861 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
411, 40sylan2b 493 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) = (1 / (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  ifcif 4222  {csn 4313   class class class wbr 4796   × cxp 5256  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   < clt 10258  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  seqcseq 12987  cexp 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-seq 12988  df-exp 13047
This theorem is referenced by:  expneg2  13055  expn1  13056  expnegz  13080  efexp  15022  pcexp  15758  aaliou3lem8  24291  basellem3  25000  basellem4  25001  basellem8  25005  ex-exp  27610  dvtan  33765  irrapxlem5  37884  pellexlem2  37888  nn0digval  42896
  Copyright terms: Public domain W3C validator