Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expnegico01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnegico01 42633
Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
expnegico01 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11736 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 eluz2nn 11764 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
43nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6 simpr 476 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
72, 5, 63jca 1261 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
873adant3 1101 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9 reexpclz 12920 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
11 0red 10079 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
1213ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1343ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14 simp2 1082 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1512, 13, 14reexpclzd 13074 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
163nngt0d 11102 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐵)
17163ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18 expgt0 12933 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑁))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1366 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵𝑁))
2011, 15, 19ltled 10223 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵𝑁))
21 0zd 11427 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22 eluz2gt1 11798 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
23223ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24 simp3 1083 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25 ltexp2a 12952 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵𝑁 < 0)) → (𝐵𝑁) < (𝐵↑0))
2612, 14, 21, 23, 24, 25syl32anc 1374 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) < (𝐵↑0))
27 eluzelcn 11737 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2827exp0d 13042 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
2928eqcomd 2657 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30293ad2ant1 1102 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
3126, 30breqtrrd 4713 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) < 1)
32 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
33 1re 10077 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3433rexri 10135 . . . 4 1 ∈ ℝ*
3532, 34pm3.2i 470 . . 3 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
36 elico2 12275 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁) ∧ (𝐵𝑁) < 1)))
3735, 36mp1i 13 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁) ∧ (𝐵𝑁) < 1)))
3810, 20, 31, 37mpbir3and 1264 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  [,)cico 12215  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  digexp  42726
  Copyright terms: Public domain W3C validator