Theorem expnegico01 42633

Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expnegico01	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 11736	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		eluz2nn 11764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnne0d 11103	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	2, 5, 6	3jca 1261	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	3adant3 1101	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		reexpclz 12920	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
11		0red 10079	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12	1	3ad2ant1 1102	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	4	3ad2ant1 1102	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14		simp2 1082	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	reexpclzd 13074	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
16	3	nngt0d 11102	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1102	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18		expgt0 12933	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑁))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵↑𝑁))
20	11, 15, 19	ltled 10223	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
21		0zd 11427	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22		eluz2gt1 11798	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
23	22	3ad2ant1 1102	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24		simp3 1083	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25		ltexp2a 12952	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵 ∧ 𝑁 < 0)) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
26	12, 14, 21, 23, 24, 25	syl32anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
27		eluzelcn 11737	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27	exp0d 13042	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
29	28	eqcomd 2657	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30	29	3ad2ant1 1102	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
31	26, 30	breqtrrd 4713	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < 1)
32		0re 10078	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
33		1re 10077	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
34	33	rexri 10135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
35	32, 34	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
36		elico2 12275	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
37	35, 36	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
38	10, 20, 31, 37	mpbir3and 1264	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725  [,)cico 12215  ↑cexp 12900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901

This theorem is referenced by:  digexp  42726