MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnlbnd2 12812
Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2
StepHypRef Expression
1 expnlbnd 12811 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴)
2 simpl2 1057 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 1058 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 < 𝐵)
4 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
5 ltle 9977 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
64, 2, 5sylancr 693 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
73, 6mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8 simprr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
9 leexp2a 12733 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
102, 7, 8, 9syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘))
11 0red 9897 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12 1red 9911 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13 0lt1 10399 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 1)
1511, 12, 2, 14, 3lttrd 10049 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < 𝐵)
162, 15elrpd 11701 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17 nnz 11232 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1817ad2antrl 759 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 12696 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
2016, 18, 19syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
21 eluzelz 11529 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
2221ad2antll 760 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 12696 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2416, 22, 23syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
2520, 24lerecd 11723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) ≤ (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗))))
2610, 25mpbid 220 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)))
2724rprecred 11715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
2820rprecred 11715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ)
29 simpl1 1056 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3029rpred 11704 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 lelttr 9979 . . . . . . 7 (((1 / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3227, 28, 30, 31syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((1 / (𝐵𝑘)) ≤ (1 / (𝐵𝑗)) ∧ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3326, 32mpand 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3433anassrs 677 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3534ralrimdva 2951 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
3635reximdva 2999 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
371, 36mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  cn 10867  cz 11210  cuz 11519  +crp 11664  cexp 12677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator