MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnprm 15525
Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
expnprm ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 11706 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
21simprbi 480 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
32adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4 eluzelz 11641 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
54ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
7 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 prmnn 15307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
109nnne0d 11010 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
11 eluz2nn 11670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13120expd 12961 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
1410, 13neeqtrrd 2870 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15 oveq1 6612 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
1615necon3i 2828 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18 pcqcl 15480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
196, 7, 17, 18syl12anc 1321 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20 dvdsmul1 14922 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
215, 19, 20syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
229nncnd 10981 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2322exp1d 12940 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁)↑1) = (𝐴𝑁))
2423oveq2d 6621 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)))
25 1z 11352 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
26 pcid 15496 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
276, 25, 26sylancl 693 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt ((𝐴𝑁)↑1)) = 1)
28 pcexp 15483 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
296, 7, 17, 5, 28syl121anc 1328 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)))
3024, 27, 293eqtr3rd 2669 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
3121, 30breqtrd 4644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
3231ex 450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
3311adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnnn0d 11296 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35 dvds1 14960 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3634, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
3732, 36sylibd 229 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
3837necon3ad 2809 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ))
393, 38mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐴𝑁) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  cq 11732  cexp 12797  cdvds 14902  cprime 15304   pCnt cpc 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-pc 15461
This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  25069
  Copyright terms: Public domain W3C validator