Theorem expnprm 16232

Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is irrational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
expnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 12316	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2	1	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
3	2	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4		eluzelz 12247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)
7		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		prmnn 16012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnne0d 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
11		eluz2nn 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	0expd 13497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
14	10, 13	neeqtrrd 3090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	necon3i 3048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18		pcqcl 16187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
19	6, 7, 17, 18	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20		dvdsmul1 15625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
21	5, 19, 20	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
22	9	nncnd 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
23	22	exp1d 13499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁)↑1) = (𝐴↑𝑁))
24	23	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)))
25		1z 12006	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		pcid 16203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
27	6, 25, 26	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
28		pcexp 16190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
29	6, 7, 17, 5, 28	syl121anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
30	24, 27, 29	3eqtr3rd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
31	21, 30	breqtrd 5084	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
32	31	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
33	11	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 11949	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		dvds1 15663	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
37	32, 36	sylibd 241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
38	37	necon3ad 3029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ))
39	3, 38	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  ℕcn 11632  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℚcq 12342  ↑cexp 13423   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009   pCnt cpc 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  26055