Theorem expp1 12686

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
expp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11143	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		seqp1 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3		nnuz 11557	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	eleq2s 2705	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
5	4	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6		peano2nn 10881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7		fvconst2g 6349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
8	6, 7	sylan2 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
9	8	oveq2d 6542	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
10	5, 9	eqtrd 2643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11		expnnval 12682	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
12	6, 11	sylan2 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13		expnnval 12682	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
14	13	oveq1d 6541	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
15	10, 12, 14	3eqtr4d 2653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
16		exp1 12685	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17		mulid2 9894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	eqtr4d 2646	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20		simpr 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	oveq1d 6541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 10981	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	syl6eq 2659	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
24	23	oveq2d 6542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25		oveq2 6534	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑0))
26		exp0 12683	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
27	25, 26	sylan9eqr 2665	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑𝑁) = 1)
28	27	oveq1d 6541	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
29	19, 24, 28	3eqtr4d 2653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
30	15, 29	jaodan 821	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))
31	1, 30	sylan2b 490	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴↑𝑁) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 381   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  {csn 4124   × cxp 5025  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526  ℂcc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  ℕcn 10869  ℕ₀cn0 11141  ℤ_≥cuz 11521  seqcseq 12620  ↑cexp 12679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-seq 12621  df-exp 12680

This theorem is referenced by:  expcllem  12690  expm1t  12707  expeq0  12709  mulexp  12718  expadd  12721  expmul  12724  leexp2r  12737  leexp1a  12738  sqval  12741  cu2  12782  i3  12785  binom3  12804  bernneq  12809  modexp  12818  expp1d  12828  faclbnd  12896  faclbnd2  12897  faclbnd4lem1  12899  faclbnd6  12905  cjexp  13686  absexp  13840  binomlem  14348  climcndslem1  14368  climcndslem2  14369  geolim  14388  geo2sum  14391  efexp  14618  demoivreALT  14718  rpnnen2lem11  14740  pwp1fsum  14900  prmdvdsexp  15213  pcexp  15350  prmreclem6  15411  decexp2  15565  numexpp1  15568  cnfldexp  19546  expcn  22430  mbfi1fseqlem5  23236  dvexp  23466  aaliou3lem2  23846  tangtx  24005  cxpmul2  24179  mcubic  24318  cubic2  24319  binom4  24321  dquartlem2  24323  quart1lem  24326  quart1  24327  quartlem1  24328  log2cnv  24415  log2ublem2  24418  log2ub  24420  basellem3  24553  chtublem  24680  perfectlem1  24698  perfectlem2  24699  bclbnd  24749  bposlem8  24760  dchrisum0flblem1  24941  pntlemo  25040  qabvexp  25059  rusgranumwlks  26276  psgnfzto1st  28979  oddpwdc  29536  subfacval2  30216  sinccvglem  30613  heiborlem6  32568  bfplem1  32574  pwdif  39823  2exp7  39836  perfectALTVlem1  39948  perfectALTVlem2  39949  altgsumbcALT  41905