MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expubnd 13529
Description: An upper bound on 𝐴𝑁 when 2 ≤ 𝐴. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))

Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 peano2rem 10941 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4 remulcl 10610 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
52, 3, 4sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ)
7 simp2 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 0le2 11727 . . . . . . 7 0 ≤ 2
9 0re 10631 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
10 letr 10722 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
119, 2, 10mp3an12 1442 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴))
128, 11mpani 692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
1312imp 407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14 resubcl 10938 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
152, 14mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 2) ∈ ℝ)
16 leadd2 11097 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
172, 16mp3an1 1439 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 2) ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
1815, 17mpdan 683 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴)))
1918biimpa 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) ≤ ((𝐴 − 2) + 𝐴))
20 recn 10615 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
22 npcan 10883 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 2) = 𝐴)
25 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
26 subdi 11061 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
2721, 25, 26mp3an13 1443 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 − 1)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 1)))
28 2times 11761 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
29 2t1e2 11788 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
3128, 30oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − (2 · 1)) = ((𝐴 + 𝐴) − 2))
32 addsub 10885 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
3321, 32mp3an3 1441 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
3433anidms 567 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 2) = ((𝐴 − 2) + 𝐴))
3527, 31, 343eqtrrd 2858 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
3620, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((𝐴 − 2) + 𝐴) = (2 · (𝐴 − 1)))
3819, 24, 373brtr3d 5088 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))
3913, 38jca 512 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
40393adant2 1123 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1))))
41 leexp1a 13527 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · (𝐴 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · (𝐴 − 1)))) → (𝐴𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1365 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁))
433recnd 10657 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
44 mulexp 13456 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
4521, 44mp3an1 1439 . . . 4 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
4643, 45sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
47463adant3 1124 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → ((2 · (𝐴 − 1))↑𝑁) = ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
4842, 47breqtrd 5083 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ ((2↑𝑁) · ((𝐴 − 1)↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cmin 10858  2c2 11680  0cn0 11885  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  13641
  Copyright terms: Public domain W3C validator