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Theorem extwwlkfab 27078
Description: The set (𝑋𝐶𝑁) of closed walks (having a fixed length greater than 1 and starting at a fixed vertex) with the last but 2 vertex is identical with the first (and therefore last) vertex can be constructed from the set (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) of closed walks with length smaller by 2 than the fixed length appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). 3 ≤ 𝑁 is required since for 𝑁 = 2: (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = (𝑋𝐹0) = ∅, see umgrclwwlksge2 26778 stating that a closed walk of length 0 is not represented as word, at least not for an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
extwwlkfab ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfab
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 11673 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
21anim2i 592 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
3 extwwlkfab.c . . . . 5 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
43numclwwlkovg 27076 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
653adant1 1077 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
7 3simpb 1057 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
9 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
10 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
11 extwwlkfablem2 27068 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
128, 9, 10, 11syl2an3an 1383 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
13 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘0) = 𝑋)
1512, 14jca 554 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
161anim2i 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
17163adant2 1078 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
19 extwwlkfablem1 27066 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
2018, 9, 10, 19syl2an3an 1383 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
21 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝑤‘0) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
2221eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
2423adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
2520, 24eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
2610, 13eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2815, 25, 273jca 1240 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
2928ex 450 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
30 simpl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
31 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
3230eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑤‘0))
3331, 32eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
3430, 33jca 554 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3534ex 450 . . . . . . . 8 ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3635a1d 25 . . . . . . 7 ((𝑤‘0) = 𝑋 → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
3736adantl 482 . . . . . 6 (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
38373imp 1254 . . . . 5 ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3929, 38impbid1 215 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
40 ige3m2fz 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
41 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (1...(#‘𝑤)) = (1...𝑁))
4241eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑤) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
4340, 42syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑤) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
45 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
4644, 45jctild 565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
47 extwwlkfab.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4847clwwlknbp 26752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁))
4946, 48syl11 33 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
50493ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤)))))
5150imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))))
52 swrd0fv0 13378 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(#‘𝑤))) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑤‘0))
5453eqcomd 2627 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤‘0) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0))
5554eqeq1d 2623 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
5655anbi2d 739 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋)))
57563anbi1d 1400 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
58 uz3m2nn 11675 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
5958anim2i 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
60593adant1 1077 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
61 extwwlkfab.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6261numclwwlkovf 27069 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
6362eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
6460, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
65 fveq1 6147 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → (𝑢‘0) = ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0))
6665eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
67 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
6867eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
6968cbvrabv 3185 . . . . . . . . 9 {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑢 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑢‘0) = 𝑋}
7066, 69elrab2 3348 . . . . . . . 8 ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
7164, 70syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋)))
72713anbi1d 1400 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7372bicomd 213 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7473adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7539, 57, 743bitrd 294 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7675rabbidva 3176 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
776, 76eqtrd 2655 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  0cc0 9880  1c1 9881  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057  Word cword 13230   substr csubstr 13234  Vtxcvtx 25774   USGraph cusgr 25937   NeighbVtx cnbgr 26111   ClWWalksN cclwwlksn 26743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-substr 13242  df-edg 25840  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-usgr 25939  df-nbgr 26115  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745
This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2foa  27079  numclwlk1lem2f  27080
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