MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f13idfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f13idfv 12795
Description: A one-to-one function with the domain { 0, 1 ,2 } in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f13idfv.a 𝐴 = (0...2)
Assertion
Ref Expression
f13idfv (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))

Proof of Theorem f13idfv
StepHypRef Expression
1 0z 11385 . . 3 0 ∈ ℤ
2 1z 11404 . . 3 1 ∈ ℤ
3 2z 11406 . . 3 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1238 . 2 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0ne1 11085 . . 3 0 ≠ 1
6 0ne2 11236 . . 3 0 ≠ 2
7 1ne2 11237 . . 3 1 ≠ 2
85, 6, 73pm3.2i 1238 . 2 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
9 f13idfv.a . . . 4 𝐴 = (0...2)
10 fz0tp 12436 . . . 4 (0...2) = {0, 1, 2}
119, 10eqtri 2643 . . 3 𝐴 = {0, 1, 2}
1211f13dfv 6527 . 2 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2)))))
134, 8, 12mp2an 708 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  {ctp 4179  wf 5882  1-1wf1 5883  cfv 5886  (class class class)co 6647  0cc0 9933  1c1 9934  2c2 11067  cz 11374  ...cfz 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator