MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1co Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1co 6067
Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 df-f1 5852 . . 3 (𝐹:𝐵1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐹))
2 df-f1 5852 . . 3 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
3 fco 6015 . . . . 5 ((𝐹:𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴𝐶)
4 funco 5886 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐺𝐹))
5 cnvco 5268 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
65funeqi 5868 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐺) ↔ Fun (𝐺𝐹))
74, 6sylibr 224 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐹𝐺))
87ancoms 469 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
93, 8anim12i 589 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐺:𝐴𝐵) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
109an4s 868 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
111, 2, 10syl2anb 496 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
12 df-f1 5852 . 2 ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ ((𝐹𝐺):𝐴𝐶 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
1311, 12sylibr 224 1 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  ccnv 5073  ccom 5078  Fun wfun 5841  wf 5843  1-1wf1 5844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852
This theorem is referenced by:  f1oco  6116  f1cofveqaeqALT  6470  tposf12  7322  domtr  7953  dfac12lem2  8910  fin23lem28  9106  pwfseqlem5  9429  cofth  16516  gsumzf1o  18234  erdsze2lem2  30894
  Copyright terms: Public domain W3C validator