Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dom3el3dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dom3el3dif 6486
 Description: The range of a 1-1 function from a set with three different elements has (at least) three different elements. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1dom3fv3dif.v (𝜑 → (𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍))
f1dom3fv3dif.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
f1dom3fv3dif.f (𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅)
Assertion
Ref Expression
f1dom3el3dif (𝜑 → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem f1dom3el3dif
StepHypRef Expression
1 f1dom3fv3dif.f . . 3 (𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅)
2 f1f 6063 . . . 4 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
3 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
4 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = 𝐴)
543mix1d 1234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶))
6 f1dom3fv3dif.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍))
76simp1d 1071 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑋)
8 eltpg 4203 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶)))
105, 9mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
123, 11ffvelrnd 6321 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑅)
13 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐵)
14133mix2d 1235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶))
156simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑌)
16 eltpg 4203 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑌 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶)))
1814, 17mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
203, 19ffvelrnd 6321 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑅)
216simp3d 1073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑍)
22 tpid3g 4280 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑍𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
253, 24ffvelrnd 6321 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)
2612, 20, 253jca 1240 . . . . 5 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅))
2726expcom 451 . . . 4 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅 → (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)))
282, 27syl 17 . . 3 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅 → (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)))
291, 28mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅))
30 f1dom3fv3dif.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
316, 30, 1f1dom3fv3dif 6485 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶)))
32 neeq1 2852 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑦))
33 neeq1 2852 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥𝑧 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧))
3432, 333anbi12d 1397 . . 3 (𝑥 = (𝐹𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧𝑦𝑧)))
35 neeq2 2853 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ↔ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵)))
36 neeq1 2852 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧))
3735, 363anbi13d 1398 . . 3 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧𝑦𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧)))
38 neeq2 2853 . . . 4 (𝑧 = (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶)))
39 neeq2 2853 . . . 4 (𝑧 = (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐵) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶)))
4038, 393anbi23d 1399 . . 3 (𝑧 = (𝐹𝐶) → (((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶))))
4134, 37, 40rspc3ev 3314 . 2 ((((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅) ∧ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶))) → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
4229, 31, 41syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908  {ctp 4157  ⟶wf 5848  –1-1→wf1 5849  ‘cfv 5852 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fv 5860 This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  13213
 Copyright terms: Public domain W3C validator