MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1domg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1domg 8017
Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1domg (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem f1domg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1dmex 7178 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2 f1f 6139 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
3 fex 6530 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
42, 3sylan 487 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
51, 4syldan 486 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐵𝐶) → 𝐹 ∈ V)
65expcom 450 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
7 f1eq1 6134 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵))
87spcegv 3325 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
96, 8syli 39 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
10 brdomg 8007 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
119, 10sylibrd 249 1 (𝐵𝐶 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1744  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  wf 5922  1-1wf1 5923  cdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  f1dom  8019  dom2d  8038  fseqen  8888  infpssrlem5  9167  hashf1  13279  vdwlem12  15743  2ndcdisj  21307  ovolicc2lem4  23334  basellem4  24855  usgriedgleord  26165  uspgredgleord  26169
  Copyright terms: Public domain W3C validator