Theorem f1eq123d 6603

Description: Equality deduction for one-to-one functions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1eq123d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
f1eq123d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
f1eq123d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
f1eq123d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))

Proof of Theorem f1eq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq123d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		f1eq1 6565	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐶))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐶))
4		f1eq123d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
5		f1eq2 6566	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐶))
7		f1eq123d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
8		f1eq3 6567	. . 3 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))
10	3, 6, 9	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐶 ↔ 𝐺:𝐵–1-1→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533  –1-1→wf1 6347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5060  df-opab 5122  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355

This theorem is referenced by:  f10d  6643  fthf1  17181  cofth  17199  istrkgld  26239  istrkg2ld  26240  isushgr  26840  isuspgr  26931  isusgr  26932  isuspgrop  26940  isusgrop  26941  ausgrusgrb  26944  ausgrusgri  26947  usgrstrrepe  27011  uspgr1e  27020  usgrexmpl  27039  usgrres1  27091  usgrexi  27217  uspgr2wlkeq  27421  usgr2trlncl  27535  aciunf1  30402  pfxf1  30613  s1f1  30614  tocycfv  30746  tocycf  30754  tocyc01  30755  cycpmco2f1  30761  cycpmco2rn  30762  cycpmco2lem1  30763  cycpmco2lem2  30764  cycpmco2lem3  30765  cycpmco2lem4  30766  cycpmco2lem5  30767  cycpmco2lem6  30768  cycpmco2lem7  30769  cycpmco2  30770  cycpm3cl2  30773  cycpmconjv  30779  tocyccntz  30781  cyc3evpm  30787  cycpmgcl  30790  cycpmconjslem2  30792  cyc3conja  30794  dimkerim  31018  f1resfz0f1d  32356  fundcmpsurinjALT  43565