MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1fveq 6398
Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1fveq ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 6396 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2 fveq2 6088 . 2 (𝐶 = 𝐷 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐷))
31, 2impbid1 213 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) = (𝐹𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  1-1wf1 5787  cfv 5790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fv 5798
This theorem is referenced by:  f1elima  6399  f1dom3fv3dif  6403  cocan1  6424  isof1oidb  6452  isosolem  6475  f1oiso  6479  weniso  6482  f1oweALT  7021  2dom  7893  xpdom2  7918  wemapwe  8455  fseqenlem1  8708  dfac12lem2  8827  infpssrlem4  8989  fin23lem28  9023  isf32lem7  9042  iundom2g  9219  canthnumlem  9327  canthwelem  9329  canthp1lem2  9332  pwfseqlem4  9341  seqf1olem1  12660  bitsinv2  14952  bitsf1  14955  sadasslem  14979  sadeq  14981  bitsuz  14983  eulerthlem2  15274  f1ocpbllem  15956  f1ovscpbl  15958  fthi  16350  ghmf1  17461  f1omvdmvd  17635  odf1  17751  dprdf1o  18203  ply1scln0  19431  zntoslem  19672  iporthcom  19747  cnt0  20908  cnhaus  20916  imasdsf1olem  21936  imasf1oxmet  21938  dyadmbl  23119  vitalilem3  23130  dvcnvlem  23488  facth1  23673  usgraidx2v  25716  wlkdvspthlem  25931  cyclnspth  25953  usgrcyclnl2  25963  erdszelem9  30269  cvmliftmolem1  30351  msubff1  30541  metf1o  32545  rngoisocnv  32774  laut11  34214  gicabl  36511  fourierdlem50  38873  usgredg2v  40476
  Copyright terms: Public domain W3C validator