MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imass 6397
Description: Taking images under a one-to-one function preserves subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imass ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))

Proof of Theorem f1imass
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 795 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐴)
21sseld 3563 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐴))
3 simplr 787 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
43sseld 3563 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷)))
5 simplll 793 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
6 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
7 simp1rl 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
873expa 1256 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
9 f1elima 6396 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐶𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
105, 6, 8, 9syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
11 simp1rr 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
12113expa 1256 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
13 f1elima 6396 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐷𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
145, 6, 12, 13syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
154, 10, 143imtr3d 280 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1615ex 448 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐴 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
172, 16syld 45 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
1817pm2.43d 50 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1918ssrdv 3570 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐷)
2019ex 448 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) → 𝐶𝐷))
21 imass2 5404 . 2 (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
2220, 21impbid1 213 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  wss 3536  cima 5028  1-1wf1 5784  cfv 5787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fv 5795
This theorem is referenced by:  f1imaeq  6398  f1imapss  6399  enfin2i  9000  tsmsf1o  21697
  Copyright terms: Public domain W3C validator