MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvdm 6494
Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvdm ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6106 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 6094 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
43ffvelrnda 6315 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  ccnv 5073  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855
This theorem is referenced by:  f1oiso2  6556  f1ocnvfv3  6600  uzrdglem  12696  uzrdgsuci  12699  fzennn  12707  cardfz  12709  fzfi  12711  iunmbl2  23232  f1otrg  25651  axcontlem10  25753  wlkiswwlks2lem5  26628  clwlkclwwlklem2a  26766  cnvbraval  28818  cnvbracl  28819  mndpluscn  29754  ismtycnv  33233  rngoisocnv  33412  lautcnvclN  34854  lautcnvle  34855  lautcvr  34858  lautj  34859  lautm  34860  ltrncnvatb  34904  diacnvclN  35820  dihcnvcl  36040  dihlspsnat  36102  dihglblem6  36109  dochocss  36135  dochnoncon  36160  mapdcnvcl  36421  rmxyelxp  36957
  Copyright terms: Public domain W3C validator