MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvdm 7032
Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvdm ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem f1ocnvdm
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6620 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 6608 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
43ffvelrnda 6843 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  ccnv 5547  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  f1oiso2  7094  f1ocnvfv3  7141  uzrdglem  13313  uzrdgsuci  13316  fzennn  13324  cardfz  13326  fzfi  13328  iunmbl2  24085  f1otrg  26584  axcontlem10  26686  wlkiswwlks2lem5  27578  clwlkclwwlklem2a  27703  cnvbraval  29814  cnvbracl  29815  cycpmco2lem6  30700  cycpmco2  30702  mndpluscn  31068  ismtycnv  34961  rngoisocnv  35140  lautcnvclN  37104  lautcnvle  37105  lautcvr  37108  lautj  37109  lautm  37110  ltrncnvatb  37154  diacnvclN  38067  dihcnvcl  38287  dihlspsnat  38349  dihglblem6  38356  dochocss  38382  dochnoncon  38407  mapdcnvcl  38668  rmxyelxp  39387  isomuspgrlem1  43869  isomgrsym  43878
  Copyright terms: Public domain W3C validator