MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv 6488
Description: Relationship between the value of a one-to-one onto function and the value of its converse. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))

Proof of Theorem f1ocnvfv
StepHypRef Expression
1 fveq2 6148 . . 3 (𝐷 = (𝐹𝐶) → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
21eqcoms 2629 . 2 ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
3 f1ocnvfv1 6486 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
43eqeq2d 2631 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐷) = (𝐹‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹𝐷) = 𝐶))
52, 4syl5ib 234 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝐷 → (𝐹𝐷) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ccnv 5073  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6489  f1oiso2  6556  curry1  7214  curry2  7217  mapfienlem2  8255  infxpenc2lem1  8786  axcclem  9223  uzrdgfni  12697  uzrdgsuci  12699  fzennn  12707  axdc4uzlem  12722  seqf1olem1  12780  seqf1olem2  12781  hashginv  13061  sadaddlem  15112  xpsaddlem  16156  xpsvsca  16160  xpsle  16162  catcisolem  16677  mhmf1o  17266  ghmf1o  17611  lmhmf1o  18965  symgtgp  21815  xpsdsval  22096  cnvbraval  28815  madjusmdetlem2  29673  derangenlem  30858  subfacp1lem4  30870  subfacp1lem5  30871  cvmliftlem9  30980  rngoisocnv  33409  cdleme51finvfvN  35320  ltrniotacnvval  35347  dssmapclsntr  37906  mgmhmf1o  41072
  Copyright terms: Public domain W3C validator