Theorem f1ococnv2 6635

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6616	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fococnv2 6634	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   I cid 5453  ^◡ccnv 5548   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553  –onto→wfo 6347  –1-1-onto→wf1o 6348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  6637  f1ocnvfv2  7028  mapen  8675  hashfacen  13806  setcinv  17344  catcisolem  17360  symginv  18524  f1omvdco2  18570  gsumval3  19021  gsumzf1o  19026  psrass1lem  20151  evl1var  20493  pf1ind  20512  fcobij  30452  symgfcoeu  30721  cycpmconjvlem  30778  cycpmconjs  30793  cyc3conja  30794  erdsze2lem2  32446  ltrncoidN  37258  cdlemg46  37865  cdlemk45  38077  cdlemk55a  38089  tendocnv  38151  eldioph2  39352  rngcinv  44246  rngcinvALTV  44258  ringcinv  44297  ringcinvALTV  44321