MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oen 7961
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
f1oen (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 f1oeng 7959 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2mpan 705 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  1-1-ontowf1o 5875  cen 7937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-en 7941
This theorem is referenced by:  mapfien2  8299  infxpenlem  8821  dfac8alem  8837  dfac12lem2  8951  dfac12lem3  8952  r1om  9051  axcc2lem  9243  summolem3  14426  summolem2a  14427  summolem2  14428  zsum  14430  prodmolem3  14644  prodmolem2a  14645  prodmolem2  14646  zprod  14648  cpnnen  14939  eulerthlem2  15468  hashgcdeq  15475  4sqlem11  15640  gicen  17701  orbsta2  17728  odhash  17970  odhash2  17971  sylow1lem2  17995  sylow2blem1  18016  znhash  19888  basellem5  24792  eupthfi  27045  ballotlemfrc  30562  ballotlem8  30572  erdszelem10  31156  poimirlem4  33384  poimirlem26  33406  poimirlem27  33407  pwfi2en  37486  aacllem  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator