MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oen 7839
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
f1oen (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 f1oeng 7837 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
31, 2mpan 701 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  1-1-ontowf1o 5789  cen 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-en 7819
This theorem is referenced by:  mapfien2  8174  infxpenlem  8696  dfac8alem  8712  dfac12lem2  8826  dfac12lem3  8827  r1om  8926  axcc2lem  9118  summolem3  14238  summolem2a  14239  summolem2  14240  zsum  14242  prodmolem3  14448  prodmolem2a  14449  prodmolem2  14450  zprod  14452  cpnnen  14743  eulerthlem2  15271  hashgcdeq  15278  4sqlem11  15443  gicen  17489  orbsta2  17516  odhash  17758  odhash2  17759  sylow1lem2  17783  sylow2blem1  17804  znhash  19671  basellem5  24528  eupafi  26264  ballotlemfrc  29721  ballotlem8  29731  erdszelem10  30242  poimirlem4  32386  poimirlem26  32408  poimirlem27  32409  pwfi2en  36488  eupthfi  41375  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator