Theorem f1oen 8524

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		f1oeng 8522	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
3	1, 2	mpan 688	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   class class class wbr 5059  –1-1-onto→wf1o 6349   ≈ cen 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-en 8504

This theorem is referenced by:  mapfien2  8866  infxpenlem  9433  dfac8alem  9449  dfac12lem2  9564  dfac12lem3  9565  r1om  9660  axcc2lem  9852  summolem3  15065  summolem2  15067  zsum  15069  prodmolem3  15281  prodmolem2  15283  zprod  15285  cpnnen  15576  eulerthlem2  16113  hashgcdeq  16120  4sqlem11  16285  gicen  18411  odhash  18693  odhash2  18694  sylow1lem2  18718  sylow2blem1  18739  znhash  20699  wlkswwlksen  27652  wlknwwlksnen  27661  eupthfi  27978  numclwwlk1lem2  28133  ballotlemfrc  31779  ballotlem8  31789  erdszelem10  32442  poimirlem4  34890  poimirlem26  34912  poimirlem27  34913  pwfi2en  39690  aacllem  44895