MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oeng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oeng 8016
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oeng ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem f1oeng
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6182 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2 fornex 7177 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V))
31, 2syl5 34 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V))
43imp 444 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 f1oen2g 8014 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
653com23 1291 . 2 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴𝐵)
74, 6mpd3an3 1465 1 ((𝐴𝐶𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cen 7994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-en 7998
This theorem is referenced by:  f1oen  8018  f1imaeng  8057  f1dmvrnfibi  8291  onacda  9057  fictb  9105  canthp1lem2  9513  unbenlem  15659  4sqlem11  15706  conjsubgen  17740  dis2ndc  21311  ovoliunlem1  23316  logfac2  24987  rabfodom  29470  eulerpartlemgs2  30570  matunitlindflem2  33536
  Copyright terms: Public domain W3C validator