MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oi 6136
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 5971 . 2 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2 cnvresid 5931 . . . 4 ( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
32fneq1i 5948 . . 3 (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
41, 3mpbir 221 . 2 ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5 dff1o4 6107 . 2 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
61, 4, 5mpbir2an 954 1 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   I cid 4989  ccnv 5078  cres 5081   Fn wfn 5847  1-1-ontowf1o 5851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859
This theorem is referenced by:  f1ovi  6137  fveqf1o  6517  isoid  6539  enrefg  7938  ssdomg  7952  hartogslem1  8398  wdomref  8428  infxpenc  8792  pwfseqlem5  9436  dfle2  11931  fproddvdsd  14990  wunndx  15807  idfucl  16469  idffth  16521  ressffth  16526  setccatid  16662  estrccatid  16700  funcestrcsetclem7  16714  funcestrcsetclem8  16715  equivestrcsetc  16720  funcsetcestrclem7  16729  funcsetcestrclem8  16730  idmhm  17272  idghm  17603  symggrp  17748  symgid  17749  idresperm  17757  islinds2  20080  lindfres  20090  lindsmm  20095  mdetunilem9  20354  ssidcn  20978  resthauslem  21086  sshauslem  21095  hausdiag  21367  idqtop  21428  fmid  21683  iducn  22006  mbfid  23322  dvid  23600  dvexp  23635  wilthlem2  24708  wilthlem3  24709  idmot  25345  ausgrusgrb  25966  upgrres1  26106  umgrres1  26107  usgrres1  26108  usgrexilem  26236  sizusglecusglem1  26257  pliguhgr  27205  hoif  28480  idunop  28704  idcnop  28707  elunop2  28739  fcobijfs  29362  qqhre  29864  rrhre  29865  subfacp1lem4  30900  subfacp1lem5  30901  poimirlem15  33083  poimirlem22  33090  idlaut  34889  tendoidcl  35564  tendo0co2  35583  erng1r  35790  dvalveclem  35821  dva0g  35823  dvh0g  35907  mzpresrename  36820  eldioph2lem1  36830  eldioph2lem2  36831  diophren  36884  kelac2  37142  lnrfg  37197  uspgrsprfo  41065  idmgmhm  41097  funcringcsetcALTV2lem8  41352  funcringcsetclem8ALTV  41375
  Copyright terms: Public domain W3C validator