Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdcnv 17796
 Description: A permutation and its inverse move the same points. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdcnv (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))

Proof of Theorem f1omvdcnv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnvfvb 6495 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
213anidm23 1382 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
32bicomd 213 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑥))
43necon3bid 2834 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
54rabbidva 3179 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
6 f1ocnv 6111 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
7 f1ofn 6100 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
8 fndifnfp 6402 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
96, 7, 83syl 18 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
10 f1ofn 6100 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
11 fndifnfp 6402 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
1210, 11syl 17 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥})
135, 9, 123eqtr4d 2665 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2911   ∖ cdif 3556   I cid 4989  ◡ccnv 5078  dom cdm 5079   Fn wfn 5847  –1-1-onto→wf1o 5851  ‘cfv 5852 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860 This theorem is referenced by:  f1omvdco2  17800  symgsssg  17819  symgfisg  17820
 Copyright terms: Public domain W3C validator