Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdco2 18068
 Description: If exactly one of two permutations is limited to a set of points, then the composition will not be. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem f1omvdco2
StepHypRef Expression
1 excxor 1618 . . 3 ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ↔ ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∨ (¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)))
2 coass 5815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
3 f1ococnv1 6326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
43coeq1d 5439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝐺))
5 f1of 6298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
6 fcoi2 6240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝐺) = 𝐺)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝐺) = 𝐺)
84, 7sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
92, 8syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = 𝐺)
109difeq1d 3870 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) = (𝐺 ∖ I ))
1110dmeqd 5481 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
1211adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
13 mvdco 18065 . . . . . . . . 9 dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∪ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))
14 f1omvdcnv 18064 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
1514ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
16 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
1715, 16eqsstrd 3780 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
18 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
1917, 18unssd 3932 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∪ dom ((𝐹𝐺) ∖ I )) ⊆ 𝑋)
2013, 19syl5ss 3755 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
2112, 20eqsstr3d 3781 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
2221expr 644 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
2322con3d 148 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
2423expimpd 630 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
25 coass 5815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺𝐺))
26 f1ococnv2 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
2726coeq2d 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹 ∘ (𝐺𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
28 f1of 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴𝐴)
29 fcoi1 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐴𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
3127, 30sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐹 ∘ (𝐺𝐺)) = 𝐹)
3225, 31syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = 𝐹)
3332difeq1d 3870 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐹 ∖ I ))
3433dmeqd 5481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
3534adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
36 mvdco 18065 . . . . . . . . . 10 dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ∪ dom (𝐺 ∖ I ))
37 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
38 f1omvdcnv 18064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
3938ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
40 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4139, 40eqsstrd 3780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4237, 41unssd 3932 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ∪ dom (𝐺 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
4336, 42syl5ss 3755 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4435, 43eqsstr3d 3781 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4544expr 644 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4645con3d 148 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4746expimpd 630 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4847ancomsd 469 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4924, 48jaod 394 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∨ (¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
501, 49syl5bi 232 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
51503impia 1110 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ⊻ wxo 1613   = wceq 1632   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715   I cid 5173  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057 This theorem is referenced by:  f1omvdco3  18069
 Copyright terms: Public domain W3C validator