MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1orescnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1orescnv 6139
Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
f1orescnv ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6136 . . 3 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃(𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
21adantl 482 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
3 funcnvres 5955 . . . 4 (Fun 𝐹(𝐹𝑅) = (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)))
4 df-ima 5117 . . . . . 6 (𝐹𝑅) = ran (𝐹𝑅)
5 dff1o5 6133 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 ↔ ((𝐹𝑅):𝑅1-1𝑃 ∧ ran (𝐹𝑅) = 𝑃))
65simprbi 480 . . . . . 6 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → ran (𝐹𝑅) = 𝑃)
74, 6syl5eq 2666 . . . . 5 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹𝑅) = 𝑃)
87reseq2d 5385 . . . 4 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)) = (𝐹𝑃))
93, 8sylan9eq 2674 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑃))
10 f1oeq1 6114 . . 3 ((𝐹𝑅) = (𝐹𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
119, 10syl 17 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
122, 11mpbid 222 1 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  ccnv 5103  ran crn 5105  cres 5106  cima 5107  Fun wfun 5870  1-1wf1 5873  1-1-ontowf1o 5875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883
This theorem is referenced by:  f1oresrab  6381  relogf1o  24294
  Copyright terms: Public domain W3C validator