Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oun2prg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oun2prg 13708
 Description: A union of unordered pairs of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
f1oun2prg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))

Proof of Theorem f1oun2prg
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
2 0z 11426 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
31, 2jctil 559 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
43ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
5 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
6 1z 11445 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
75, 6jctil 559 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
87ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
94, 8jca 553 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)))
10 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
11103ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐵)
12 0ne1 11126 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1311, 12jctil 559 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1514adantl 481 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
16 f1oprg 6219 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
179, 15, 16sylc 65 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
18 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐶𝑋)
19 2nn 11223 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2018, 19jctil 559 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
2120adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
22 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐷𝑌)
23 3nn 11224 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
2422, 23jctil 559 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2524adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2621, 25jca 553 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
2726adantr 480 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
29283ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
30 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
31 2lt3 11233 . . . . . . . 8 2 < 3
3230, 31ltneii 10188 . . . . . . 7 2 ≠ 3
3329, 32jctil 559 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3433adantl 481 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3534adantl 481 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
36 f1oprg 6219 . . . 4 (((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)) → ((2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}))
3727, 35, 36sylc 65 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷})
38 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
39383ad2ant2 1103 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
40 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41403ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4239, 41anim12i 589 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
44 df-pr 4213 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4544ineq1i 3843 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
4645eqeq1i 2656 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
47 undisj1 4062 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
4846, 47bitr4i 267 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4943, 48sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
50 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
51503ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
52 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
53523ad2ant2 1103 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5451, 53anim12i 589 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5554adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5644ineq1i 3843 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
5756eqeq1i 2656 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
58 undisj1 4062 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
5957, 58bitr4i 267 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
6055, 59sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
6149, 60jca 553 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
62 undisj2 4063 . . . . . 6 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
63 df-pr 4213 . . . . . . . . 9 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
6463eqcomi 2660 . . . . . . . 8 ({𝐶} ∪ {𝐷}) = {𝐶, 𝐷}
6564ineq2i 3844 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷})
6665eqeq1i 2656 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅ ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6762, 66bitri 264 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6861, 67sylib 208 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
69 df-pr 4213 . . . . . . . . 9 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
7069eqcomi 2660 . . . . . . . 8 ({0} ∪ {1}) = {0, 1}
7170ineq1i 3843 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ({0, 1} ∩ {2})
72 0ne2 11277 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
73 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 2 → ({0} ∩ {2}) = ∅)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {2}) = ∅
75 1ne2 11278 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
76 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({1} ∩ {2}) = ∅)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {2}) = ∅
7874, 77pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅)
79 undisj1 4062 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅)
8078, 79mpbi 220 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅
8171, 80eqtr3i 2675 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
8270ineq1i 3843 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ({0, 1} ∩ {3})
83 3ne0 11153 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
8483necomi 2877 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 3
85 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 3 → ({0} ∩ {3}) = ∅)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {3}) = ∅
87 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
88 1lt3 11234 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
8987, 88ltneii 10188 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
90 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 3 → ({1} ∩ {3}) = ∅)
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {3}) = ∅
9286, 91pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅)
93 undisj1 4062 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅)
9492, 93mpbi 220 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅
9582, 94eqtr3i 2675 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {3}) = ∅
9681, 95pm3.2i 470 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅)
97 undisj2 4063 . . . . . 6 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅)
98 df-pr 4213 . . . . . . . . 9 {2, 3} = ({2} ∪ {3})
9998eqcomi 2660 . . . . . . . 8 ({2} ∪ {3}) = {2, 3}
10099ineq2i 3844 . . . . . . 7 ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ({0, 1} ∩ {2, 3})
101100eqeq1i 2656 . . . . . 6 (({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅ ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10297, 101bitri 264 . . . . 5 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10396, 102mpbi 220 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
10468, 103jctil 559 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅))
105 f1oun 6194 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}) ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
10617, 37, 104, 105syl21anc 1365 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
107106ex 449 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cop 4216  –1-1-onto→wf1o 5925  0cc0 9974  1c1 9975  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-z 11416 This theorem is referenced by:  s4f1o  13709
 Copyright terms: Public domain W3C validator