MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oun2prg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oun2prg 13461
Description: A union of unordered pairs of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
f1oun2prg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))

Proof of Theorem f1oun2prg
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
2 0z 11224 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
31, 2jctil 558 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
43ad2antrr 758 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
5 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
6 1z 11243 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
75, 6jctil 558 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
87ad2antrr 758 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
94, 8jca 553 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)))
10 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
11103ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐵)
12 0ne1 10938 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1311, 12jctil 558 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1514adantl 481 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
16 f1oprg 6078 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
179, 15, 16sylc 63 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
18 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐶𝑋)
19 2nn 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2018, 19jctil 558 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
2120adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
22 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐷𝑌)
23 3nn 11036 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
2422, 23jctil 558 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2524adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2621, 25jca 553 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
2726adantr 480 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
29283ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
30 2re 10940 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
31 2lt3 11045 . . . . . . . 8 2 < 3
3230, 31ltneii 10002 . . . . . . 7 2 ≠ 3
3329, 32jctil 558 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3433adantl 481 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3534adantl 481 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
36 f1oprg 6078 . . . 4 (((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)) → ((2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}))
3727, 35, 36sylc 63 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷})
38 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
39383ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
40 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41403ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4239, 41anim12i 588 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
44 df-pr 4128 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4544ineq1i 3772 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
4645eqeq1i 2615 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
47 undisj1 3981 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
4846, 47bitr4i 266 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4943, 48sylibr 223 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
50 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
51503ad2ant3 1077 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
52 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
53523ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5451, 53anim12i 588 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5554adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5644ineq1i 3772 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
5756eqeq1i 2615 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
58 undisj1 3981 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
5957, 58bitr4i 266 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
6055, 59sylibr 223 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
6149, 60jca 553 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
62 undisj2 3982 . . . . . 6 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
63 df-pr 4128 . . . . . . . . 9 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
6463eqcomi 2619 . . . . . . . 8 ({𝐶} ∪ {𝐷}) = {𝐶, 𝐷}
6564ineq2i 3773 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷})
6665eqeq1i 2615 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅ ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6762, 66bitri 263 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6861, 67sylib 207 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
69 df-pr 4128 . . . . . . . . 9 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
7069eqcomi 2619 . . . . . . . 8 ({0} ∪ {1}) = {0, 1}
7170ineq1i 3772 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ({0, 1} ∩ {2})
72 0ne2 11089 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
73 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 2 → ({0} ∩ {2}) = ∅)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {2}) = ∅
75 1ne2 11090 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
76 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({1} ∩ {2}) = ∅)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {2}) = ∅
7874, 77pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅)
79 undisj1 3981 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅)
8078, 79mpbi 219 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅
8171, 80eqtr3i 2634 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
8270ineq1i 3772 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ({0, 1} ∩ {3})
83 3ne0 10965 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
8483necomi 2836 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 3
85 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 3 → ({0} ∩ {3}) = ∅)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {3}) = ∅
87 1re 9896 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
88 1lt3 11046 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
8987, 88ltneii 10002 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
90 disjsn2 4193 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 3 → ({1} ∩ {3}) = ∅)
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {3}) = ∅
9286, 91pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅)
93 undisj1 3981 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅)
9492, 93mpbi 219 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅
9582, 94eqtr3i 2634 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {3}) = ∅
9681, 95pm3.2i 470 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅)
97 undisj2 3982 . . . . . 6 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅)
98 df-pr 4128 . . . . . . . . 9 {2, 3} = ({2} ∪ {3})
9998eqcomi 2619 . . . . . . . 8 ({2} ∪ {3}) = {2, 3}
10099ineq2i 3773 . . . . . . 7 ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ({0, 1} ∩ {2, 3})
101100eqeq1i 2615 . . . . . 6 (({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅ ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10297, 101bitri 263 . . . . 5 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10396, 102mpbi 219 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
10468, 103jctil 558 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅))
105 f1oun 6054 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}) ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
10617, 37, 104, 105syl21anc 1317 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
107106ex 449 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cun 3538  cin 3539  c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  cop 4131  1-1-ontowf1o 5789  0cc0 9793  1c1 9794  cn 10870  2c2 10920  3c3 10921  cz 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-z 11214
This theorem is referenced by:  s4f1o  13462
  Copyright terms: Public domain W3C validator