MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1rhm0to0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1rhm0to0 18512
Description: If a ring homomorphism 𝐹 is injective, it maps the zero of one ring (and only the zero) to the zero of the other ring. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1rhm0to0.a 𝐴 = (Base‘𝑅)
f1rhm0to0.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
f1rhm0to0.n 𝑁 = (0g𝑆)
f1rhm0to0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
f1rhm0to0 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem f1rhm0to0
StepHypRef Expression
1 rhmghm 18497 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2 f1rhm0to0.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
3 f1rhm0to0.n . . . . . . 7 𝑁 = (0g𝑆)
42, 3ghmid 17438 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = 𝑁)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹0 ) = 𝑁)
653ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → (𝐹0 ) = 𝑁)
76eqeq2d 2620 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = (𝐹0 ) ↔ (𝐹𝑋) = 𝑁))
8 simp2 1055 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
9 simp3 1056 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
10 rhmrcl1 18491 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
11 f1rhm0to0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Base‘𝑅)
1211, 2ring0cl 18341 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐴)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 0𝐴)
14133ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → 0𝐴)
15 f1veqaeq 6396 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝑋𝐴0𝐴)) → ((𝐹𝑋) = (𝐹0 ) → 𝑋 = 0 ))
168, 9, 14, 15syl12anc 1316 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = (𝐹0 ) → 𝑋 = 0 ))
177, 16sylbird 249 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
18 fveq2 6088 . . . 4 (𝑋 = 0 → (𝐹𝑋) = (𝐹0 ))
1918, 6sylan9eqr 2666 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝐹𝑋) = 𝑁)
2019ex 449 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑁))
2117, 20impbid 201 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  1-1wf1 5787  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  0gc0g 15872   GrpHom cghm 17429  Ringcrg 18319   RingHom crh 18484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-grp 17197  df-ghm 17430  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-rnghom 18487
This theorem is referenced by:  rim0to0  18514  kerf1hrm  18515
  Copyright terms: Public domain W3C validator