MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac0 13626
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
StepHypRef Expression
1 c0ex 10624 . . . 4 0 ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ V)
3 1ex 10626 . . . 4 1 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (⊤ → 1 ∈ V)
5 df-fac 13624 . . . 4 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
6 nnuz 12270 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 dfn2 11899 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
86, 7eqtr3i 2846 . . . . . . 7 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
98reseq2i 5844 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
10 1z 12001 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
11 seqfn 13371 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
12 fnresdm 6460 . . . . . . 7 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . 6 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
149, 13eqtr3i 2846 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
1514uneq2i 4135 . . . 4 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
165, 15eqtr4i 2847 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
172, 4, 16fvsnun1 6937 . 2 (⊤ → (!‘0) = 1)
1817mptru 1535 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  Vcvv 3495  cdif 3932  cun 3933  {csn 4559  cop 4565   I cid 5453  cres 5551   Fn wfn 6344  cfv 6349  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  cn 11627  0cn0 11886  cz 11970  cuz 12232  seqcseq 13359  !cfa 13623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-seq 13360  df-fac 13624
This theorem is referenced by:  facp1  13628  faccl  13633  facwordi  13639  faclbnd  13640  faclbnd4lem3  13645  facubnd  13650  bcn0  13660  bcval5  13668  hashf1  13805  fprodfac  15317  fallfacfac  15389  ef0lem  15422  ege2le3  15433  eft0val  15455  prmfac1  16053  pcfac  16225  tayl0  24879  logfac  25111  advlogexp  25165  facgam  25571  logexprlim  25729  subfacval2  32332  faclim  32876  bccn0  40555  mccl  41759  dvnxpaek  42107  dvnprodlem3  42113  etransclem14  42414  etransclem24  42424  etransclem25  42425  etransclem35  42435
  Copyright terms: Public domain W3C validator