Theorem faccld 13647

Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13646. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
faccld.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
faccld	⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faccld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13646	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  !cfa 13636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-fac 13637

This theorem is referenced by:  facmapnn  13648  facwordi  13652  faclbnd  13653  faclbnd6  13662  facavg  13664  bcrpcl  13671  bccmpl  13672  bcn1  13676  bcm1k  13678  bcp1n  13679  bcval5  13681  permnn  13689  hashf1  13818  hashfac  13819  bcfallfac  15400  efcllem  15433  eftlub  15464  eirrlem  15559  dvdsfac  15678  lcmflefac  15994  pcbc  16238  infpnlem1  16248  infpnlem2  16249  prmgaplem1  16387  prmgaplem2  16388  2expltfac  16428  gexcl3  18714  aaliou3lem1  24933  aaliou3lem2  24934  aaliou3lem3  24935  aaliou3lem8  24936  aaliou3lem5  24938  aaliou3lem6  24939  taylfvallem1  24947  tayl0  24952  taylply2  24958  taylply  24959  dvtaylp  24960  taylthlem2  24964  advlogexp  25240  birthdaylem2  25532  wilthlem3  25649  wilthimp  25651  chtublem  25789  logfacubnd  25799  logfaclbnd  25800  logfacbnd3  25801  logexprlim  25803  bposlem3  25864  gausslemma2dlem0c  25936  gausslemma2dlem6  25950  gausslemma2dlem7  25951  prmdvdsbc  30534  mccllem  41885  dvnprodlem2  42239  etransclem14  42540  etransclem15  42541  etransclem20  42546  etransclem21  42547  etransclem22  42548  etransclem23  42549  etransclem24  42550  etransclem25  42551  etransclem28  42554  etransclem31  42557  etransclem32  42558  etransclem33  42559  etransclem34  42560  etransclem35  42561  etransclem37  42563  etransclem38  42564  etransclem41  42567  etransclem44  42570  etransclem45  42571  etransclem47  42573  etransclem48  42574