MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faccld 13011
Description: Closure of the factorial function, deduction version of faccl 13010. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
faccld.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
faccld (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccld
StepHypRef Expression
1 faccld.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 13010 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cfv 5847  cn 10964  0cn0 11236  !cfa 13000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-fac 13001
This theorem is referenced by:  facwordi  13016  faclbnd  13017  bcp1n  13043  2expltfac  15723  tayl0  24020  wilthimp  24698  gausslemma2dlem0c  24983  gausslemma2dlem6  24997  gausslemma2dlem7  24998  mccllem  39230  dvnprodlem2  39465  etransclem14  39769  etransclem15  39770  etransclem20  39775  etransclem21  39776  etransclem22  39777  etransclem23  39778  etransclem24  39779  etransclem25  39780  etransclem28  39783  etransclem31  39786  etransclem32  39787  etransclem33  39788  etransclem34  39789  etransclem35  39790  etransclem37  39792  etransclem38  39793  etransclem41  39796  etransclem44  39799  etransclem45  39800  etransclem47  39802  etransclem48  39803
  Copyright terms: Public domain W3C validator