Theorem faclbnd4lem2 13653

Description: Lemma for faclbnd4 13656. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 13652 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd4lem2	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

Proof of Theorem faclbnd4lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7162	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)))
2	1	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1))
4		oveq1 7162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))
5	3, 4	oveq12d 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)))
6	5	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))))
7	6	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))))
8	2, 7	breq12d 5078	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
9		oveq1 7162	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁))
10	9	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) = ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
11		oveq1 7162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀 + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))
12	3, 11	oveq12d 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))))
13	12	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))))
14	13	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
15	10, 14	breq12d 5078	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))
16	8, 15	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))))
17		oveq2 7163	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁 − 1)↑𝐾) = ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
18	17	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))))
19		oveq1 7162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾↑2) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2))
20	19	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)))
21		oveq2 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
22	21	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1))))
23	20, 22	oveq12d 7173	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) = ((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))))
24	23	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))))
25	18, 24	breq12d 5078	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1)))))
26		oveq1 7162	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝐾 + 1) = (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))
27	26	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
28	27	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)))
29	26	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((𝐾 + 1)↑2) = ((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2))
30	29	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (2↑((𝐾 + 1)↑2)) = (2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)))
31	26	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
32	31	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1))) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1))))
33	30, 32	oveq12d 7173	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) = ((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))))
34	33	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))
35	28, 34	breq12d 5078	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))))
36	25, 35	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) → (((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)))))
37		oveq1 7162	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁 − 1) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))
38	37	oveq1d 7170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))
39	37	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1)) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
40	38, 39	oveq12d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) = (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
41		fvoveq1 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))
42	41	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) = (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))))
43	40, 42	breq12d 5078	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) ↔ (((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)))))
44		oveq1 7162	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) = (if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))
45		oveq2 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁) = (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
46	44, 45	oveq12d 7173	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) = ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
47		fveq2 6669	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (!‘𝑁) = (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))
48	47	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
49	46, 48	breq12d 5078	. . 3 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)))))
50	43, 49	imbi12d 347	. 2 ⊢ (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) → (((((𝑁 − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑𝑁)) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘𝑁))) ↔ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))))
51		1nn 11648	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
52	51	elimel 4533	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) ∈ ℕ
53		1nn0 11912	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
54	53	elimel 4533	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) ∈ ℕ0
55	53	elimel 4533	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) ∈ ℕ0
56	52, 54, 55	faclbnd4lem1 13652	. 2 ⊢ ((((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1)↑if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) ≤ (((2↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1)))) · (!‘(if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1) − 1))) → ((if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1)↑(if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))) ≤ (((2↑((if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)↑2)) · (if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1)↑(if(𝑀 ∈ ℕ0, 𝑀, 1) + (if(𝐾 ∈ ℕ0, 𝐾, 1) + 1)))) · (!‘if(𝑁 ∈ ℕ, 𝑁, 1))))
57	16, 36, 50, 56	dedth3h 4524	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   ≤ cle 10675   − cmin 10869  ℕcn 11637  2c2 11691  ℕ₀cn0 11896  ↑cexp 13428  !cfa 13632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13655