MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd4lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd4lem3 13022
Description: Lemma for faclbnd4 13024. The 𝑁 = 0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 11238 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 0exp 12835 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (0↑𝐾) = 0)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) = 0)
4 nnnn0 11243 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
5 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
6 nn0sqcl 12827 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
7 nn0expcl 12814 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
85, 6, 7sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 11272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0expcl 12814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
1210, 11syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ0)
139, 12nn0mulcld 11300 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
144, 13sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11298 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
163, 15eqbrtrd 4635 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
17 1nn 10975 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
18 elnn0 11238 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
19 nnnn0 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20 0nn0 11251 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
21 nn0addcl 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
2219, 20, 21sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 0) ∈ ℕ0)
23 nnexpcl 12813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 0) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
2422, 23mpdan 701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → 𝑀 = 0)
26 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = (0 + 0))
27 00id 10155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
2826, 27syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 0) = 0)
2925, 28oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = (0↑0))
30 0exp0e1 12805 . . . . . . . . . . . . . 14 (0↑0) = 1
3129, 30syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) = 1)
3231, 17syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3324, 32jaoi 394 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
3418, 33sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ)
35 nnmulcl 10987 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 0)) ∈ ℕ) → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3617, 34, 35sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))) ∈ ℕ)
3736nnge1d 11007 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
3837adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
39 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = (0↑0))
4039, 30syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (0↑𝐾) = 1)
41 sq0i 12896 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = 0 → (𝐾↑2) = 0)
4241oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = (2↑0))
43 2cn 11035 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
44 exp0 12804 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2↑0) = 1
4642, 45syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (2↑(𝐾↑2)) = 1)
47 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝑀 + 𝐾) = (𝑀 + 0))
4847oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) = (𝑀↑(𝑀 + 0)))
4946, 48oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) = (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0))))
5040, 49breq12d 4626 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5150adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → ((0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ↔ 1 ≤ (1 · (𝑀↑(𝑀 + 0)))))
5238, 51mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 = 0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
5316, 52jaodan 825 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0)) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
541, 53sylan2b 492 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ≤ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
55 nn0cn 11246 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
5655exp0d 12942 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀↑0) = 1)
5756oveq2d 6620 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = ((0↑𝐾) · 1))
58 nn0expcl 12814 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
5920, 58mpan 705 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 11297 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (0↑𝐾) ∈ ℂ)
6160mulid1d 10001 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0↑𝐾) · 1) = (0↑𝐾))
6257, 61sylan9eq 2675 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) = (0↑𝐾))
6313nn0cnd 11297 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
6463mulid1d 10001 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1) = ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))))
6554, 62, 643brtr4d 4645 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
6665adantr 481 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
67 oveq1 6611 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾) = (0↑𝐾))
68 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑0))
6967, 68oveq12d 6622 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) = ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)))
70 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
71 fac0 13003 . . . . . 6 (!‘0) = 1
7270, 71syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
7372oveq2d 6620 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1))
7469, 73breq12d 4626 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7574adantl 482 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ↔ ((0↑𝐾) · (𝑀↑0)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · 1)))
7666, 75mpbird 247 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cexp 12800  !cfa 13000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  13023  faclbnd4  13024
  Copyright terms: Public domain W3C validator