MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclbnd5 13646
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider 𝐾 and 𝑀 to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 𝑁-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 11894 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2 reexpcl 13434 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
31, 2sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
43ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
5 nnre 11633 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6 reexpcl 13434 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
75, 6sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
8 remulcl 10610 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
94, 7, 8syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
109anandirs 675 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
11 2nn 11698 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
12 nn0sqcl 13444 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 13430 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
1411, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
15 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16 nn0addcl 11920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
1716ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
1815, 17sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
19 nnexpcl 13430 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
2018, 19sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
2120anabss7 669 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
22 nnmulcl 11649 . . . . . . . 8 (((2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
2314, 21, 22syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
2423nnred 11641 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ)
25 faccl 13631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2625nnred 11641 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
27 remulcl 10610 . . . . . 6 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2824, 26, 27syl2an 595 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
29 2re 11699 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
30 remulcl 10610 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
3129, 28, 30sylancr 587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
32 faclbnd4 13645 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
3315, 32syl3an3 1157 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
34333coml 1119 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
35343expa 1110 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
36 1lt2 11796 . . . . . 6 1 < 2
37 nnmulcl 11649 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
3823, 25, 37syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
3938nngt0d 11674 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
40 ltmulgt12 11489 . . . . . . . 8 (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
4129, 40mp3an2 1440 . . . . . . 7 (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
4228, 39, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
4336, 42mpbii 234 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
4410, 28, 31, 35, 43lelttrd 10786 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
45 2cn 11700 . . . . 5 2 ∈ ℂ
4623nncnd 11642 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
4725nncnd 11642 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48 mulass 10613 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
4945, 46, 47, 48mp3an3an 1458 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
5044, 49breqtrrd 5085 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
51503impa 1102 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
52513comr 1117 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) · (𝑀𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cexp 13417  !cfa 13621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator