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Theorem faclimlem1 30724
Description: Lemma for faclim 30727. Closed form for a particular sequence. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem1 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀

Proof of Theorem faclimlem1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5987 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘1))
2 1z 11148 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
3 seq1 12544 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1)
51, 4syl6eq 2564 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1))
6 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝑎 + 1) = (1 + 1))
7 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝑎 + (𝑀 + 1)) = (1 + (𝑀 + 1)))
86, 7oveq12d 6444 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))) = ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1))))
98oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
105, 9eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1) = ((𝑀 + 1) · ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1))))))
1110imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1) = ((𝑀 + 1) · ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))))
12 fveq2 5987 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑘 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘))
13 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑘 → (𝑎 + 1) = (𝑘 + 1))
14 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑘 → (𝑎 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
1513, 14oveq12d 6444 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑘 → ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
1615oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
1712, 16eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))))
1817imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))))
19 fveq2 5987 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)))
20 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
21 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝑎 + (𝑀 + 1)) = ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))
2220, 21oveq12d 6444 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))) = (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1))))
2322oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))
2419, 23eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1))))))
2524imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))))
26 fveq2 5987 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏))
27 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
28 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + (𝑀 + 1)) = (𝑏 + (𝑀 + 1)))
2927, 28oveq12d 6444 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))) = ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))
3029oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
3126, 30eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1)))) ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))))
3231imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑎) = ((𝑀 + 1) · ((𝑎 + 1) / (𝑎 + (𝑀 + 1))))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))))
33 1nn 10786 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
34 oveq2 6434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑀 / 𝑛) = (𝑀 / 1))
3534oveq2d 6442 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (1 + (𝑀 / 𝑛)) = (1 + (𝑀 / 1)))
36 oveq2 6434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
3736oveq2d 6442 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 1)))
3835, 37oveq12d 6444 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → ((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))))
39 oveq2 6434 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝑀 + 1) / 𝑛) = ((𝑀 + 1) / 1))
4039oveq2d 6442 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑀 + 1) / 1)))
4138, 40oveq12d 6444 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))))
42 eqid 2514 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))
43 ovex 6454 . . . . . . . . 9 (((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6075 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1) = (((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))))
4533, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1) = (((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1)))
46 nn0cn 11057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
4746div1d 10542 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 / 1) = 𝑀)
4847oveq2d 6442 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑀 / 1)) = (1 + 𝑀))
49 1div1e1 10466 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
5049oveq2i 6437 . . . . . . . . . . 11 (1 + (1 / 1)) = (1 + 1)
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 1)) = (1 + 1))
5248, 51oveq12d 6444 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) = ((1 + 𝑀) · (1 + 1)))
53 nn0p1nn 11087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
5453nncnd 10791 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
5554div1d 10542 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) / 1) = (𝑀 + 1))
5655oveq2d 6442 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + ((𝑀 + 1) / 1)) = (1 + (𝑀 + 1)))
5752, 56oveq12d 6444 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) = (((1 + 𝑀) · (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))))
58 1cnd 9811 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5958, 46addcomd 9989 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
6059oveq1d 6441 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((1 + 𝑀) · (1 + 1)) = ((𝑀 + 1) · (1 + 1)))
6160oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((1 + 𝑀) · (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))) = (((𝑀 + 1) · (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))))
62 ax-1cn 9749 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
6362, 62addcli 9799 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) ∈ ℂ
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + 1) ∈ ℂ)
6533a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ)
6665, 53nnaddcld 10822 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 10791 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
6866nnne0d 10820 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (1 + (𝑀 + 1)) ≠ 0)
6954, 64, 67, 68divassd 10585 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((𝑀 + 1) · (1 + 1)) / (1 + (𝑀 + 1))) = ((𝑀 + 1) · ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
7057, 61, 693eqtrd 2552 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((1 + (𝑀 / 1)) · (1 + (1 / 1))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 1))) = ((𝑀 + 1) · ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
7145, 70syl5eq 2560 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘1) = ((𝑀 + 1) · ((1 + 1) / (1 + (𝑀 + 1)))))
72 seqp1 12546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))))
73 nnuz 11463 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
7472, 73eleq2s 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))))
7574adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))))
7675adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))))
77 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))))
7877adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))))
79 peano2nn 10787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
80 oveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑀 / 𝑛) = (𝑀 / (𝑘 + 1)))
8180oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 + (𝑀 / 𝑛)) = (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))))
82 oveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
8382oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / (𝑘 + 1))))
8481, 83oveq12d 6444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) = ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))
85 oveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 + 1) / 𝑛) = ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))
8685oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)) = (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))
8784, 86oveq12d 6444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))) = (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))
88 ovex 6454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ V
8987, 42, 88fvmpt 6075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1)) = (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))
9079, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1)) = (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))
9190oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))))
9291adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))))
9353adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
9493nncnd 10791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9579adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9695nnrpd 11612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
97 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ)
9897nnrpd 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ+)
9993nnrpd 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
10098, 99rpaddcld 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + (𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
10196, 100rpdivcld 11631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ+)
102101rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
103 1cnd 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
104 nn0re 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
105104adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
106105, 95nndivred 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
107106recnd 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
108103, 107addcomd 9989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) = ((𝑀 / (𝑘 + 1)) + 1))
109 nn0ge0 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
111105, 96, 110divge0d 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 / (𝑘 + 1)))
112106, 111ge0p1rpd 11644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 / (𝑘 + 1)) + 1) ∈ ℝ+)
113108, 112eqeltrd 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
114 1rp 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ+)
11696rpreccld 11624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
117115, 116rpaddcld 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + (1 / (𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
118113, 117rpmulcld 11630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) ∈ ℝ+)
11999, 96rpdivcld 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
120115, 119rpaddcld 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
121118, 120rpdivcld 11631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ ℝ+)
122121rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
12394, 102, 122mulassd 9818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))))
124101, 118rpmulcld 11630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))) ∈ ℝ+)
125124rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
126120rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
12795nncnd 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
128120rpne0d 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))) ≠ 0)
12995nnne0d 10820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
130125, 126, 127, 128, 129divcan5d 10576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))) / ((𝑘 + 1) · (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))) = ((((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))
131118rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
132127, 102, 131mul12d 9996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))) = (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((𝑘 + 1) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))))
133113rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
134117rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + (1 / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
135127, 133, 134mulassd 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1)))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))))
136127, 103, 107adddid 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1)))) = (((𝑘 + 1) · 1) + ((𝑘 + 1) · (𝑀 / (𝑘 + 1)))))
137127mulid1d 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · 1) = (𝑘 + 1))
138 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
139138nn0cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
140139, 127, 129divcan2d 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝑀 / (𝑘 + 1))) = 𝑀)
141137, 140oveq12d 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · 1) + ((𝑘 + 1) · (𝑀 / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) + 𝑀))
14297nncnd 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
143142, 103, 139addassd 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) + 𝑀) = (𝑘 + (1 + 𝑀)))
144103, 139addcomd 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑀) = (𝑀 + 1))
145144oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + (1 + 𝑀)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
146143, 145eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) + 𝑀) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
147136, 141, 1463eqtrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1)))) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
148147oveq1d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (1 + (𝑀 / (𝑘 + 1)))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + (𝑀 + 1)) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))
149135, 148eqtr3d 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))) = ((𝑘 + (𝑀 + 1)) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))
150149oveq2d 6442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((𝑘 + 1) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))) = (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((𝑘 + (𝑀 + 1)) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))))
151100rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + (𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
152102, 151, 134mulassd 9818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) = (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((𝑘 + (𝑀 + 1)) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))))
153100rpne0d 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑘 + (𝑀 + 1)) ≠ 0)
154127, 151, 153divcan1d 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (𝑘 + (𝑀 + 1))) = (𝑘 + 1))
155154oveq1d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))
156116rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
157127, 103, 156adddid 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) = (((𝑘 + 1) · 1) + ((𝑘 + 1) · (1 / (𝑘 + 1)))))
158103, 127, 129divcan2d 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (1 / (𝑘 + 1))) = 1)
159137, 158oveq12d 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · 1) + ((𝑘 + 1) · (1 / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) + 1))
160155, 157, 1593eqtrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) + 1))
161152, 160eqtr3d 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((𝑘 + (𝑀 + 1)) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))) = ((𝑘 + 1) + 1))
162132, 150, 1613eqtrd 2552 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) + 1))
163119rpcnd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
164127, 103, 163adddid 9819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (((𝑘 + 1) · 1) + ((𝑘 + 1) · ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))
16594, 127, 129divcan2d 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))) = (𝑀 + 1))
166137, 165oveq12d 6444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · 1) + ((𝑘 + 1) · ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))
167164, 166eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))
168162, 167oveq12d 6444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))))) / ((𝑘 + 1) · (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))) = (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1))))
169102, 131, 126, 128divassd 10585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · ((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1))))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))) = (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))))
170130, 168, 1693eqtr3rd 2557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1))))) = (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1))))
171170oveq2d 6442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) · (((1 + (𝑀 / (𝑘 + 1))) · (1 + (1 / (𝑘 + 1)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / (𝑘 + 1)))))) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))
17292, 123, 1713eqtrd 2552 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))
173172adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))) → (((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))
17476, 78, 1733eqtrd 2552 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))
175174exp31 627 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))))
176175a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑀 + 1) · (((𝑘 + 1) + 1) / ((𝑘 + 1) + (𝑀 + 1)))))))
17711, 18, 25, 32, 71, 176nnind 10793 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))))
178177impcom 444 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
179 oveq1 6433 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 + 1) = (𝑏 + 1))
180 oveq1 6433 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 + (𝑀 + 1)) = (𝑏 + (𝑀 + 1)))
181179, 180oveq12d 6444 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))) = ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1))))
182181oveq2d 6442 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
183 eqid 2514 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))
184 ovex 6454 . . . . . 6 ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
185182, 183, 184fvmpt 6075 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))‘𝑏) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
186185adantl 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))‘𝑏) = ((𝑀 + 1) · ((𝑏 + 1) / (𝑏 + (𝑀 + 1)))))
187178, 186eqtr4d 2551 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))‘𝑏))
188187ralrimiva 2853 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ∀𝑏 ∈ ℕ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))‘𝑏))
189 seqfn 12543 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (ℤ‘1))
1902, 189ax-mp 5 . . . 4 seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (ℤ‘1)
19173fneq2i 5785 . . . 4 (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn ℕ ↔ seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn (ℤ‘1))
192190, 191mpbir 219 . . 3 seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn ℕ
193 ovex 6454 . . . 4 ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
194193, 183fnmpti 5820 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))) Fn ℕ
195 eqfnfv 6103 . . 3 ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) Fn ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))) Fn ℕ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))‘𝑏)))
196192, 194, 195mp2an 703 . 2 (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛)))))‘𝑏) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1)))))‘𝑏))
197188, 196sylibr 222 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑥 + 1) / (𝑥 + (𝑀 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800   class class class wbr 4481  cmpt 4541   Fn wfn 5684  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  cr 9690  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696  cle 9830   / cdiv 10433  cn 10775  0cn0 11047  cz 11118  cuz 11427  +crp 11574  seqcseq 12531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-seq 12532
This theorem is referenced by:  faclimlem2  30725
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