Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem2 32873
Description: Lemma for faclim 32875. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem2 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclimlem1 32872 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2 nnuz 12269 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
3 1zzd 12001 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4 1cnd 10624 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5 nn0p1nn 11924 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
65nnzd 12074 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7 nnex 11632 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
87mptex 6977 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
1210, 11oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14 ovex 7178 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
1512, 13, 14fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
172, 3, 4, 6, 9, 16divcnvlin 32861 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
185nncnd 11642 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
197mptex 6977 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21 peano2nn 11638 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2221adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2322nnred 11641 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
255adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2624, 25nnaddcld 11677 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
2723, 26nndivred 11679 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
2827recnd 10657 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
2928fmpttd 6871 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6843 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
3112oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33 ovex 7178 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
3515oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
3634, 35eqtr4d 2856 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
3736adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
382, 3, 17, 18, 20, 30, 37climmulc2 14981 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
3918mulid1d 10646 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
4038, 39breqtrd 5083 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
411, 40eqbrtrd 5079 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  seqcseq 13357  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834
This theorem is referenced by:  faclim  32875
  Copyright terms: Public domain W3C validator